微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - 2 \sqrt[3]{x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - lim_{x \to 1} 2 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt[3]{1^{2}} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sqrt[3]{1} - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 2 \sqrt[3]{1} + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{1 - 2 \cdot 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 2 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.1.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1 + 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.1.6

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{0}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{0}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

解题步骤 8.2.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 8.3

用 $0$ 除以 ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ 。

$0$

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