微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} 2 \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{x \to 8} \arctan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 6

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 7

由于 $lim_{x \to 8} \frac{1}{x} = \frac{1}{8}$ ，因此将 $\frac{1}{x}$ 代入 $t$ ，并使 $t$ 趋于 $\frac{1}{8}$ 。

$\frac{\frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 8

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 lim_{t \to \frac{1}{8}} \arctan (t)}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 8.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \arctan (\frac{1}{8})}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 8.3

计算 $\arctan (\frac{1}{8})$ 。

$\frac{\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将分子乘以分母的倒数。

$(\frac{1}{8^{2}} + 2 \cdot 0.12435499) x$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$(\frac{1}{64} + 2 \cdot 0.12435499) x$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $0.12435499$ 。

$(\frac{1}{64} + 0.24870998) x$

解题步骤 9.3

要将 $0.24870998$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$(\frac{1}{64} + 0.24870998 \cdot \frac{64}{64}) x$

解题步骤 9.4

组合 $0.24870998$ 和 $\frac{64}{64}$ 。

$(\frac{1}{64} + \frac{0.24870998 \cdot 64}{64}) x$

解题步骤 9.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 0.24870998 \cdot 64}{64} x$

解题步骤 9.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.1

将 $0.24870998$ 乘以 $64$ 。

$\frac{1 + 15.9174393}{64} x$

解题步骤 9.6.2

将 $1$ 和 $15.9174393$ 相加。

$\frac{16.9174393}{64} x$

解题步骤 9.7

用 $16.9174393$ 除以 $64$ 。

$0.26433498 x$

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