微积分学示例

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\cos (\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cos (\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (\frac{6 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 lim_{x \to 8} x^{3}) - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 7

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 8

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

解题步骤 10

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

解题步骤 12

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

解题步骤 14

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 15

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 15.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 15.3

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 15.4

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

化简分子。

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解题步骤 16.1.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\cos (\frac{6 \cdot 4096 - 1 \cdot 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.2

将 $6$ 乘以 $4096$ 。

$\cos (\frac{24576 - 1 \cdot 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{24576 - 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.4

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\cos (\frac{24576 - 2 \cdot 512 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.5

将 $- 2$ 乘以 $512$ 。

$\cos (\frac{24576 - 1024 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\cos (\frac{24576 - 1024 - 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.7

从 $24576$ 中减去 $1024$ 。

$\cos (\frac{23552 - 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.1.8

从 $23552$ 中减去 $3$ 。

$\cos (\frac{23549}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\cos (\frac{23549}{3 \cdot 4096 + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.2.2

将 $3$ 乘以 $4096$ 。

$\cos (\frac{23549}{12288 + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.2.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (\frac{23549}{12288 + 9 \cdot 64 - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.2.4

将 $9$ 乘以 $64$ 。

$\cos (\frac{23549}{12288 + 576 - 1 \cdot 7})$

解题步骤 16.2.5

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\cos (\frac{23549}{12288 + 576 - 7})$

解题步骤 16.2.6

将 $12288$ 和 $576$ 相加。

$\cos (\frac{23549}{12864 - 7})$

解题步骤 16.2.7

从 $12864$ 中减去 $7$ 。

$\cos (\frac{23549}{12857})$

解题步骤 16.3

计算 $\cos (\frac{23549}{12857})$ 。

$- 0.25786605$

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