微积分学示例

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (x)}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (x)}^{x})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 3

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $e^{x \ln (\sin (x))}$ 的极限值。

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

解题步骤 3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{0 \ln (0)}$

解题步骤 3.3

因为 $e^{0 \ln (0)}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 5

计算右极限。

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解题步骤 5.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 5.2

制作一个表格展示函数 $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

解题步骤 5.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 5.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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