微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.2.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.1.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.2.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.6

乘以 $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 3.5.2.6.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.6.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.6.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.2.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.4

使用勾股恒等式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.5

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.5.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.5.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.5.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.5.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.5.5.2.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

解题步骤 4.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (0)$

解题步骤 6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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