微积分学示例

$\int {(x + \sqrt{x})}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + \sqrt{x})}^{2}$ 重写为 $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ 。

$\int (x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int x (x + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} (x + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\sqrt{x} \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {\sqrt{x}}^{2} d x$

解题步骤 1.3.1.2

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x^{1} d x$

解题步骤 1.3.1.2.5

化简。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + \sqrt{x} x + x d x$

解题步骤 1.3.2

重新排序 $\sqrt{x} x$ 的因式。

$\int x \cdot x + x \sqrt{x} + x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 1.3.3

将 $x \sqrt{x}$ 和 $x \sqrt{x}$ 相加。

$\int x \cdot x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x + 2 x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 1} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} + 2 x \sqrt{x} + x d x$

解题步骤 2.5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{2} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x d x$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.6.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x) + x d x$

解题步骤 2.6.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{2} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x d x$

解题步骤 2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1} + x d x$

解题步骤 2.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x d x$

解题步骤 2.6.4

在公分母上合并分子。

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x d x$

解题步骤 2.6.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{2} + 2 x^{\frac{3}{2}} + x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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