微积分学示例

$\int \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} d x$

解题步骤 1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$\int \frac{(x + 3) (x + 3)}{x + 2} d x$

解题步骤 2

运用分配律。

$\int \frac{x (x + 3) + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

解题步骤 3

运用分配律。

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

解题步骤 4

运用分配律。

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 5

将 $x$ 和 $3$ 重新排序。

$\int \frac{x \cdot x + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x^{1} x + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x^{1} x^{1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{x^{1 + 1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9}{x + 2} d x$

解题步骤 10

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\int \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 2} d x$

解题步骤 11

用 $x^{2} + 6 x + 9$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{2}$

$6 x$

$9$

解题步骤 11.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

解题步骤 11.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$

解题步骤 11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

解题步骤 11.7

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

解题步骤 11.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					+	$4 x$	+	$8$

解题步骤 11.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x + 8$ 中的所有符号

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$

解题步骤 11.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$
							+	$1$

解题步骤 11.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x + 4 + \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

解题步骤 15

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 15.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 15.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 15.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 15.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 15.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 15.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 15.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 16

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \ln (| u |) + C$

解题步骤 17

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| u |) + C$

解题步骤 18

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x + 2 |) + C$

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