微积分学示例

$\int \frac{{(y + 1)}^{2}}{y} d y$

解题步骤 1

将 ${(y + 1)}^{2}$ 重写为 $(y + 1) (y + 1)$ 。

$\int \frac{(y + 1) (y + 1)}{y} d y$

解题步骤 2

运用分配律。

$\int \frac{y (y + 1) + 1 (y + 1)}{y} d y$

解题步骤 3

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)}{y} d y$

解题步骤 4

运用分配律。

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 5

将 $y$ 和 $1$ 重新排序。

$\int \frac{y \cdot y + 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 6

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{y^{1} y^{1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{y^{1 + 1} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{y^{2} + 1 y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 9.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 9.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1 \cdot 1}{y} d y$

解题步骤 9.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{y^{2} + y + y + 1}{y} d y$

解题步骤 10

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$\int \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y} d y$

解题步骤 11

用 $y^{2} + 2 y + 1$ 除以 $y$ 。

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解题步骤 11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

解题步骤 11.2

将被除数中的最高阶项 $y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$

解题步骤 11.3

将新的商式项乘以除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

解题步骤 11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{2} + 0$ 中的所有符号

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

解题步骤 11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$

解题步骤 11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

解题步骤 11.7

将被除数中的最高阶项 $2 y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$

解题步骤 11.8

将新的商式项乘以除数。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	+	$0$

解题步骤 11.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 y + 0$ 中的所有符号

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$

解题步骤 11.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y$	+	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					+	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

解题步骤 11.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int y + 2 + \frac{1}{y} d y$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 13

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C + \int 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C + 2 y + C + \int \frac{1}{y} d y$

解题步骤 15

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C + 2 y + C + \ln (| y |) + C$

解题步骤 16

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + \ln (| y |) + C$

微积分学 示例

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