微积分学示例

$\int \frac{\frac{1}{2} x^{4} - x^{3} - 5 x - 7}{x + 2} d x$

解题步骤 1

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4} - {(u - 2)}^{3} - 5 (u - 2) - 7}{u} d u$

解题步骤 2

将分数分解成多个分数。

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} + \frac{- {(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 5 (u - 2)}{u} + \frac{- 7}{u} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int \frac{- {(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{\frac{1}{2} {(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 7}{u} d u$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} \int \frac{{(u - 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 7

使用二项式定理。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} {(- 2)}^{2} + 4 u {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.2

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 {(- 2)}^{2}) + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.3

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) + {(- 2)}^{4}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.4

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.5

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 {(- 2)}^{2})}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.6

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 u^{3} \cdot - 2 + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.7

移动 $u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 u^{2} (- 2 \cdot - 2) + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.8

移动 $u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 u (- 2 (- 2 \cdot - 2)) - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.9

移动括号。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 u (- 2 \cdot - 2) \cdot - 2 - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.10

移动 $u$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + (4 (- 2 \cdot - 2)) \cdot - 2 u - 2 (- 2 (- 2 \cdot - 2))}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.11

移动括号。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} + 4 \cdot - 2 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2) \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.12

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 6 \cdot - 2 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.13

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} - 12 \cdot - 2 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.14

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} + 4 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.15

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 8 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.16

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} + 16 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.17

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.18

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 4 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.19

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u - 8 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 8.20

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} \int \frac{u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 16}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 9

用 $u^{4} - 8 u^{3} + 24 u^{2} - 32 u + 16$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 9.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

解题步骤 9.2

将被除数中的最高阶项 $u^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

解题步骤 9.3

将新的商式项乘以除数。

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

解题步骤 9.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{4} + 0$ 中的所有符号

				$u^{3}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$

解题步骤 9.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{3}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$

解题步骤 9.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$u^{3}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

解题步骤 9.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 u^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

解题步骤 9.8

将新的商式项乘以除数。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					-	$8 u^{3}$	+	$0$

解题步骤 9.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 u^{3} + 0$ 中的所有符号

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$

解题步骤 9.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

解题步骤 9.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

解题步骤 9.12

将被除数中的最高阶项 $24 u^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$24 u$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

解题步骤 9.13

将新的商式项乘以除数。

$u^{3}$

$8 u^{2}$

$24 u$

$u$

$0$

$u^{4}$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$32 u$

$16$

$u^{4}$

$0$

$8 u^{3}$

$24 u^{2}$

$8 u^{3}$

$0$

$24 u^{2}$

$32 u$

$24 u^{2}$

$0$

解题步骤 9.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $24 u^{2} + 0$ 中的所有符号

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$

解题步骤 9.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$

解题步骤 9.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$

解题步骤 9.17

将被除数中的最高阶项 $- 32 u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$

解题步骤 9.18

将新的商式项乘以除数。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									-	$32 u$	+	$0$

解题步骤 9.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 32 u + 0$ 中的所有符号

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									+	$32 u$	-	$0$

解题步骤 9.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{3}$	-	$8 u^{2}$	+	$24 u$	-	$32$
$u$	+	$0$		$u^{4}$	-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$	-	$32 u$	+	$16$
			-	$u^{4}$	-	$0$
					-	$8 u^{3}$	+	$24 u^{2}$
					+	$8 u^{3}$	-	$0$
							+	$24 u^{2}$	-	$32 u$
							-	$24 u^{2}$	-	$0$
									-	$32 u$	+	$16$
									+	$32 u$	-	$0$
											+	$16$

解题步骤 9.21

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} \int u^{3} - 8 u^{2} + 24 u - 32 + \frac{16}{u} d u + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int u^{3} d u + \int - 8 u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 8 u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 12

由于 $- 8$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 \int u^{2} d u + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 13

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 24 u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 14

由于 $24$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 \int u d u + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 15

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int - 32 d u + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{1}{2} u^{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + \int \frac{16}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 18

由于 $16$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 19

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 20

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 21

使用二项式定理。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22

化简表达式。

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解题步骤 22.1

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.2

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.3

将幂重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.4

移动 $u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.5

移动 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.6

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.7

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.8

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.9

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 22.10

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 23

用 $u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 23.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

解题步骤 23.2

将被除数中的最高阶项 $u^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

解题步骤 23.3

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

解题步骤 23.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u^{3} + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

解题步骤 23.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

解题步骤 23.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

解题步骤 23.7

将被除数中的最高阶项 $- 6 u^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

解题步骤 23.8

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

解题步骤 23.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 u^{2} + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

解题步骤 23.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

解题步骤 23.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

解题步骤 23.12

将被除数中的最高阶项 $12 u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

解题步骤 23.13

将新的商式项乘以除数。

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

解题步骤 23.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 u + 0$ 中的所有符号

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

解题步骤 23.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

解题步骤 23.16

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - \int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 24

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 25

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 26

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 27

由于 $- 6$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 28

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 29

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 30

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 31

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 32

由于 $8$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 33

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 34

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 35

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{5 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 36

由于 $5$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - (5 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 37

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 38

用 $u - 2$ 除以 $u$ 。

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解题步骤 38.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$u$

$0$

$u$

$2$

解题步骤 38.2

将被除数中的最高阶项 $u$ 除以除数中的最高阶项 $u$ 。

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

解题步骤 38.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

解题步骤 38.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $u + 0$ 中的所有符号

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

解题步骤 38.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

解题步骤 38.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 39

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 40

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 41

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 42

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 43

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 44

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{7}{u} d u$

解题步骤 45

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{7}{u} d u$

解题步骤 46

由于 $7$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (7 \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 47

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 7 \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 48

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{u^{4}}{4} + C - 8 (\frac{u^{3}}{3} + C) + 24 (\frac{u^{2}}{2} + C) - 32 u + C + 16 (\ln (| u |) + C)) - (\frac{u^{3}}{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C)) - 5 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 7 (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 49

化简。

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解题步骤 49.1

化简。

$\frac{u^{4}}{8} - \frac{4 u^{3}}{3} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2

化简。

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解题步骤 49.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) + \frac{- 4 u^{3} - u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.2

从 $- 4 u^{3}$ 中减去 $u^{3}$ 。

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) + \frac{- 5 u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{u^{4}}{8} + 6 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} + 3 u^{2} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.4

将 $6 u^{2}$ 和 $3 u^{2}$ 相加。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 16 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} - 12 u + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.5

从 $- 16 u$ 中减去 $12 u$ 。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 28 u + 8 \ln (| u |) - \frac{5 u^{3}}{3} + 8 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.6

将 $8 \ln (| u |)$ 和 $8 \ln (| u |)$ 相加。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 28 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 16 \ln (| u |) - 5 u + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.7

从 $- 28 u$ 中减去 $5 u$ 。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 16 \ln (| u |) + 10 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.8

将 $16 \ln (| u |)$ 和 $10 \ln (| u |)$ 相加。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 26 \ln (| u |) - 7 \ln (| u |) + C$

解题步骤 49.2.9

从 $26 \ln (| u |)$ 中减去 $7 \ln (| u |)$ 。

$\frac{u^{4}}{8} + 9 u^{2} - 33 u - \frac{5 u^{3}}{3} + 19 \ln (| u |) + C$

解题步骤 50

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x + 2)}^{4}}{8} + 9 {(x + 2)}^{2} - 33 (x + 2) - \frac{5 {(x + 2)}^{3}}{3} + 19 \ln (| x + 2 |) + C$

解题步骤 51

重新排序项。

$\frac{1}{8} {(x + 2)}^{4} + 9 {(x + 2)}^{2} - 33 (x + 2) - \frac{5}{3} {(x + 2)}^{3} + 19 \ln (| x + 2 |) + C$

微积分学 示例

微积分学示例