微积分学示例

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ 。

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\sqrt{a} \sqrt{a}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\sqrt{a}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\sqrt{a}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2

将 ${\sqrt{a}}^{2}$ 重写为 $a$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{a}$ 重写成 $a^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.4.1

约去公因数。

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2.4.2

重写表达式。

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.2.5

化简。

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1.3.1.6

乘以 $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ 。

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解题步骤 1.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3.1.6.2

将 $\sqrt{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3.1.6.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1.3.1.6.4

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

解题步骤 1.3.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

解题步骤 1.3.1.7

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

解题步骤 1.3.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

解题步骤 1.3.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.3.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.7.4.1

约去公因数。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

解题步骤 1.3.1.7.4.2

重写表达式。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

解题步骤 1.3.1.7.5

化简。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

解题步骤 1.3.2

从 $- \sqrt{x a}$ 中减去 $\sqrt{a x}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x$ 和 $a$ 重新排序。

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

解题步骤 1.3.2.2

从 $- \sqrt{a x}$ 中减去 $\sqrt{a x}$ 。

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

解题步骤 5

使 $u = a x$ 。然后使 $d u = a d x$ ，以便 $\frac{1}{a} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = a x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $a x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [a x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$a \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$a$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

解题步骤 6

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{a}$ 。

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{a}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{a}$ 移到积分外。

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

化简。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{a}$ 和 $- 2$ 。

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

解题步骤 8.1.2

将负号移到分数的前面。

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

解题步骤 8.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $u^{\frac{3}{2}}$ 。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.2

化简。

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 12

使用 $a x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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