微积分学示例

$\int_{0.5}^{4} x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0.5}^{4} x^{3} d x + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 3

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 \int_{0.5}^{4} x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 6

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 \int_{0.5}^{4} x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + x]_{0.5}^{4}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4}$ 和 $x]_{0.5}^{4}$ 。

$\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{1}{4} x^{4} + x$ 在 $4$ 处和在 $0.5$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $0.5$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

解题步骤 10.2.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $0.5$ 处的值。

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4

化简。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{1}{4} \cdot 256 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $256$ 。

$\frac{256}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3

约去 $256$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.1

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 64}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{64}{1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.3.2.4

用 $64$ 除以 $1$ 。

$64 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.4

将 $64$ 和 $4$ 相加。

$68 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.5

对 $0.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$68 - (\frac{1}{4} \cdot 0.0625 + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $0.0625$ 。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.7

要将 $0.5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5 \cdot \frac{4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.8

组合 $0.5$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$68 - (\frac{0.0625}{4} + \frac{0.5 \cdot 4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.9

在公分母上合并分子。

$68 - \frac{0.0625 + 0.5 \cdot 4}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.10

将 $0.5$ 乘以 $4$ 。

$68 - \frac{0.0625 + 2}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.11

将 $0.0625$ 和 $2$ 相加。

$68 - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.12

要将 $68$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$68 \cdot \frac{4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.13

组合 $68$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{68 \cdot 4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.14

在公分母上合并分子。

$\frac{68 \cdot 4 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.15

将 $68$ 乘以 $4$ 。

$\frac{272 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.16

从 $272$ 中减去 $2.0625$ 。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.17

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.18

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{0.125}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.19

在公分母上合并分子。

$\frac{269.9375}{4} - 6 \frac{64 - 0.125}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.20

从 $64$ 中减去 $0.125$ 。

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{63.875}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.21

组合 $- 6$ 和 $\frac{63.875}{3}$ 。

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 6 \cdot 63.875}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.22

将 $- 6$ 乘以 $63.875$ 。

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{269.9375}{4} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.24

要将 $\frac{269.9375}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.25

要将 $- \frac{383.25}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 10.2.4.26.1

将 $\frac{269.9375}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26.3

将 $\frac{383.25}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.26.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.27

在公分母上合并分子。

$\frac{269.9375 \cdot 3 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.28

将 $269.9375$ 乘以 $3$ 。

$\frac{809.8125 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.29

将 $- 383.25$ 乘以 $4$ 。

$\frac{809.8125 - 1533}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.30

从 $809.8125$ 中减去 $1533$ 。

$\frac{- 723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.31

将负号移到分数的前面。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.32

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{16}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.33

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.4.33.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.33.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.4.33.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.33.2.2

约去公因数。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.33.2.3

重写表达式。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8}{1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.33.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

解题步骤 10.2.4.34

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{0.25}{2})$

解题步骤 10.2.4.35

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{0.25}{2})$

解题步骤 10.2.4.36

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{0.25}{2})$

解题步骤 10.2.4.37

在公分母上合并分子。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{8 \cdot 2 - 0.25}{2}$

解题步骤 10.2.4.38

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{16 - 0.25}{2}$

解题步骤 10.2.4.39

从 $16$ 中减去 $0.25$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{15.75}{2})$

解题步骤 10.2.4.40

组合 $9$ 和 $\frac{15.75}{2}$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{9 \cdot 15.75}{2}$

解题步骤 10.2.4.41

将 $9$ 乘以 $15.75$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2}$

解题步骤 10.2.4.42

要将 $\frac{141.75}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2} \cdot \frac{6}{6}$

解题步骤 10.2.4.43

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 10.2.4.43.1

将 $\frac{141.75}{2}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

解题步骤 10.2.4.43.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{12}$

解题步骤 10.2.4.44

在公分母上合并分子。

$\frac{- 723.1875 + 141.75 \cdot 6}{12}$

解题步骤 10.2.4.45

将 $141.75$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 723.1875 + 850.5}{12}$

解题步骤 10.2.4.46

将 $- 723.1875$ 和 $850.5$ 相加。

$\frac{127.3125}{12}$

解题步骤 11

用 $127.3125$ 除以 $12$ 。

$10.609375$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例