微积分学示例

$\int \frac{2 x - 1}{\sqrt{5 - 3 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ 为正数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1.4.1

约去公因数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4.2

重写表达式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5^{1} - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.1.5

计算指数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.2

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.5

计算指数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15}}{3} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.5

组合 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 {(\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.6.1

对 $\frac{\sqrt{15} \sin (t)}{3}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(\sqrt{15} \sin (t))}^{2}}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.6.2

对 $\sqrt{15} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{\sqrt{15}}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 2.1.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.7.4.1

约去公因数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7.4.2

重写表达式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15^{1} \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.7.5

计算指数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 3 \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.9.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 (- 1) \frac{15 \sin^{2} (t)}{9}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.9.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.9.3

约去公因数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 + 3 \cdot - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3 \cdot 3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.9.4

重写表达式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{15 \sin^{2} (t)}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.10

约去 $15$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.10.1

从 $15 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.10.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.2

约去公因数。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{3 (5 \sin^{2} (t))}{3 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.3

重写表达式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.4

用 $5 \sin^{2} (t)$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.1.11

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 5 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $5$ 。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $5$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.1.7

从根式下提出各项。

$\int \frac{2 (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \sin (t)) - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{2 \frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}}$ 。

$\int \frac{\frac{2 (\sqrt{5} \sin (t))}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\int \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1}{\cos (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.4

合并。

$\int \frac{\sqrt{3} (\frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} - 1)}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.5

运用分配律。

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.6

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{3} \frac{2 \sqrt{5} \sin (t)}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.6.2

重写表达式。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) + \sqrt{3} \cdot - 1}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - 1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{3} (\cos (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.9

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{5 \cdot 3} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.10

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)} \cdot \frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3} d t$

解题步骤 2.2.11

将 $\frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{\sqrt{15} \cos (t)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15} \cos (t)}{3}$ 。

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) (\sqrt{15} \cos (t))}{\sqrt{15} \cos (t) \cdot 3} d t$

解题步骤 2.2.12

将 $3$ 移到 $\sqrt{15} \cos (t)$ 的左侧。

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \cdot (\sqrt{15} \cos (t))} d t$

解题步骤 2.2.13

约去 $\sqrt{15}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.13.1

约去公因数。

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \sqrt{15} \cos (t)}{3 \sqrt{15} \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.13.2

重写表达式。

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.14

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

约去公因数。

$\int \frac{(2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}) \cos (t)}{3 \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.14.2

重写表达式。

$\int \frac{2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3}}{3} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int 2 \sqrt{5} \sin (t) - \sqrt{3} d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{3} (\int 2 \sqrt{5} \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

解题步骤 5

由于 $2 \sqrt{5}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2 \sqrt{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} \int \sin (t) d t + \int - \sqrt{3} d t)$

解题步骤 6

$\sin (t)$ 对 $t$ 的积分为 $- \cos (t)$ 。

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) + \int - \sqrt{3} d t)$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} (2 \sqrt{5} (- \cos (t) + C) - \sqrt{3} t + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (t) - \sqrt{3} t) + C$

解题步骤 9

使用 $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}, \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})}^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(1 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (1 - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.8

将 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3} x}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{\sqrt{5} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.9

化简分母。

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解题步骤 10.1.9.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.9.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{\sqrt{5}}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 10.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.10.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{\frac{2}{2}}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5^{1}}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.10.5

计算指数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{5} + \sqrt{3} x) (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)$ 。

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解题步骤 10.1.11.1

运用分配律。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.11.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x (\sqrt{5} - \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.11.3

运用分配律。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.12

合并 $\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3} x) + \sqrt{3} x \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.12.1

按照 $\sqrt{5} (- \sqrt{3} x)$ 和 $\sqrt{3} x \sqrt{5}$ 重新排列因数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} - x \sqrt{3} \sqrt{5} + x \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.12.2

将 $- x \sqrt{3} \sqrt{5}$ 和 $x \sqrt{3} \sqrt{5}$ 相加。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + 0 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.12.3

将 $\sqrt{5} \sqrt{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13

化简每一项。

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解题步骤 10.1.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{25} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} x (- \sqrt{3} x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x \cdot x}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.1.13.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} (x \cdot x)}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.7

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.8

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - \sqrt{3} \sqrt{3} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.9

乘以 $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 10.1.13.9.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.9.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{1 + 1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {\sqrt{3}}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 10.1.13.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.13.10.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{\frac{2}{2}} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3^{1} x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.10.5

计算指数。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 1 \cdot 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.13.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.14

将 $\sqrt{\frac{5 - 3 x^{2}}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5} \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.15

约去 $\sqrt{5}$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.15.1

从 $- 2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.15.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (\sqrt{5} \cdot - 2 \frac{\sqrt{5 - 3 x^{2}}}{\sqrt{5}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.1.15.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}) + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.3

乘以 $\frac{1}{3} (- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}})$ 。

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解题步骤 10.3.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 2}{3} \sqrt{5 - 3 x^{2}} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.3.2

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} + \frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})) + C$

解题步骤 10.4

乘以 $\frac{1}{3} (- \sqrt{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}))$ 。

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解题步骤 10.4.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) + C$

解题步骤 10.4.2

组合 $\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}})$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}}}{3} - \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

解题步骤 10.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

解题步骤 10.6

从 $- 2 \sqrt{5 - 3 x^{2}} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 10.6.1

将 $5$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$\frac{- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

解题步骤 10.6.2

从 $- 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

解题步骤 10.6.3

从 $- \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

解题步骤 10.6.4

从 $- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5}) - (\arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3})}{3} + C$

解题步骤 10.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{5}}) \sqrt{3}}{3} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- \frac{1}{3} (2 \sqrt{- 3 x^{2} + 5} + \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} x) \sqrt{3}) + C$

微积分学 示例

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