微积分学示例

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 4 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 4 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $4 \cos (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $4 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $16$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 16 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $16$ 。

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

对 $16 \cos^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

对 $16$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8

将 ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.9

将 $4096 \cos^{6} (t)$ 重写为 ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

解题步骤 3.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

解题步骤 4

由于 $256$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $256$ 移到积分外。

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

解题步骤 5.2

将 ${\cos (t)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

解题步骤 6

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

解题步骤 7

使 $u_{1} = 2 t$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u_{1} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $256$ 。

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.1.2

约去 $256$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $256$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.1.2.2.4

用 $128$ 除以 $1$ 。

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ 重写为乘积形式。

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

解题步骤 9.3

展开 ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ 。

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解题步骤 9.3.1

将幂重写为乘积形式。

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 9.3.2

运用分配律。

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

解题步骤 9.3.3

运用分配律。

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.4

运用分配律。

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.5

运用分配律。

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.6

运用分配律。

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.7

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.8

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$128 \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.9

移动 $\frac{1}{2}$ 。

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.11

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.12

移动 $\cos (u_{1})$ 。

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.13

将 $\frac{1}{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$128 \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) + 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 9.3.14

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$128 \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.15

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$128 \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.16

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$128 \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.18

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.19

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.20

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos (u_{1}) + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.21

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.22

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.23

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.24

将 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.25

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{1}) \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.26

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.27

将 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2 \cdot 2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.28

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} \cos (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 9.3.29

组合 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.30

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.31

对 $\cos (u_{1})$ 进行 $1$ 次方运算。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.32

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{{\cos (u_{1})}^{1 + 1}}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.33

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.34

将 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 和 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 相加。

$128 \int \frac{1}{4} + 2 \frac{\cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.35

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (u_{1})}{4}$ 。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.36

将 $\frac{2 \cos (u_{1})}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$128 \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.3.37

将 $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{\cos^{2} (u_{1})}{4}$ 重新排序。

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $2 \cos (u_{1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (\cos (u_{1}))}{4} d u_{1}$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 9.4.2.3

重写表达式。

$128 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$128 (\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$128 (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 12

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (u_{1})$ 的形式。

$128 (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$128 (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$128 (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$128 (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1} + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 15

将单个积分拆分为多个积分。

$128 (\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 17

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 17.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 17.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 17.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 17.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 17.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 17.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 18

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 19

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 20

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \int \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 21

应用常数不变法则。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{1}{4} u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 22

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u_{1}$ 。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1})$

解题步骤 23

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 24

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$128 (\frac{1}{8} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)) + \frac{u_{1}}{4} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C))$

解题步骤 25

化简。

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解题步骤 25.1

化简。

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{u_{1}}{4} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2

化简。

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解题步骤 25.2.1

要将 $\frac{u_{1}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 25.2.2.1

将 $\frac{u_{1}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$128 (\frac{u_{1}}{8} + \frac{u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2.3

在公分母上合并分子。

$128 (\frac{u_{1} + u_{1} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2.4

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$128 (\frac{u_{1} + 2 \cdot u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 25.2.5

将 $u_{1}$ 和 $2 u_{1}$ 相加。

$128 (\frac{3 u_{1}}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (u_{1})}{2}) + C$

解题步骤 26

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 26.1

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (u_{2})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

解题步骤 26.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$128 (\frac{3 (2 t)}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

解题步骤 26.3

使用 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 u_{1})}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 26.4

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 t))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 26.5

使用 $\arcsin (\frac{x}{4})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$128 (\frac{3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27

化简。

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解题步骤 27.1

化简每一项。

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解题步骤 27.1.1

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 27.1.1.1

从 $3 (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ 中分解出因数 $2$ 。

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{8} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 27.1.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27.1.1.2.2

约去公因数。

$128 (\frac{2 (3 (\arcsin (\frac{x}{4})))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27.1.1.2.3

重写表达式。

$128 (\frac{3 (\arcsin (\frac{x}{4}))}{4} + \frac{\sin (2 (2 \arcsin (\frac{x}{4})))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$128 (\frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

解题步骤 27.2

运用分配律。

$128 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3

化简。

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解题步骤 27.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 27.3.1.1

从 $128$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (32) \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.1.2

约去公因数。

$4 \cdot 32 \frac{3 \arcsin (\frac{x}{4})}{4} + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.1.3

重写表达式。

$32 (3 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.2

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 128 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.3

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 27.3.3.1

从 $128$ 中分解出因数 $16$ 。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 (8) \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.3.2

约去公因数。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 16 \cdot 8 \frac{\sin (4 \arcsin (\frac{x}{4}))}{16} + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.3.3

重写表达式。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 128 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 27.3.4.1

从 $128$ 中分解出因数 $2$ 。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 (64) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.4.2

约去公因数。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 2 \cdot 64 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

解题步骤 27.3.4.3

重写表达式。

$96 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{x}{4})) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

解题步骤 28

重新排序项。

$96 \arcsin (\frac{1}{4} x) + 8 \sin (4 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + 64 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

微积分学 示例

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