微积分学示例

$\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 1

应用归约公式。

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec (x) d x$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

计算 $\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{- π}{2}$ 处的值。

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 3.1.2

计算 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{- π}{2}$ 处的值。

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

解题步骤 3.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

解题步骤 3.1.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

解题步骤 3.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

解题步骤 3.1.3.4

将负号移到分数的前面。

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$ 。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3

$\tan (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $\frac{π}{2}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.2

使用两角和公式。

$\frac{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1.1

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1.1.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.1.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.1.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1.2.4.1

约去公因数。

解题步骤 3.3.7.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.2.5

计算指数。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.7.1.3.1

约去公因数。

解题步骤 3.3.7.1.3.2

重写表达式。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

解题步骤 3.3.7.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 3.3.8

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

微积分学 示例

微积分学示例