微积分学示例

$\int (\tan^{3} (x) + \tan^{5} (x)) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 1

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{3} + u^{5} d u$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

解题步骤 5

化简。

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

解题步骤 6

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$

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