微积分学示例

$\int \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} + 7 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int 7 d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 6.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$

解题步骤 9.2

重新排序项。

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x + C$

微积分学 示例

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