微积分学示例

$\int_{- (\frac{5 π}{2})}^{\frac{5 π}{2}} \cos (x - 1) d x$

解题步骤 1

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - (\frac{5 π}{2}) - 1$

解题步骤 1.3

将上限代入替换 $u = x - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{5 π}{2} - 1$

解题步骤 1.4

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - \frac{5 π}{2} - 1$

$u_{upper} = \frac{5 π}{2} - 1$

解题步骤 1.5

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- \frac{5 π}{2} - 1}^{\frac{5 π}{2} - 1} \cos (u) d u$

解题步骤 2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\sin (u)]_{- \frac{5 π}{2} - 1}^{\frac{5 π}{2} - 1}$

解题步骤 3

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{5 π}{2} - 1$ 处和在 $- \frac{5 π}{2} - 1$ 处的值。

$\sin (\frac{5 π}{2} - 1) - \sin (- \frac{5 π}{2} - 1)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

计算 $\sin (\frac{5 π}{2} - 1)$ 。

$0.5403023 - \sin (- \frac{5 π}{2} - 1)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\sin (- \frac{5 π}{2} - 1)$ 。

$0.5403023 - - 0.5403023$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.5403023$ 。

$0.5403023 + 0.5403023$

解题步骤 4.2

将 $0.5403023$ 和 $0.5403023$ 相加。

$1.08060461$

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