微积分学示例

$\int 2 x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x + 1 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{4} d x + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 6 x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 4

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 \int x^{3} d x + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 7 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 6

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x d x + \int d x$

解题步骤 8

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x d x + \int d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 11.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 11.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

解题步骤 11.1.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{2 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{7 x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + C$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$\frac{2}{5} x^{5} + \frac{3}{2} x^{4} + \frac{7}{3} x^{3} - 2 x^{2} + x + C$

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