微积分学示例

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 7 x$ 。然后使 $d u_{1} = 7 d x$ ，以便 $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 7 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $7 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 4

组合 $\cos (u_{1})$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 7

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\sin (u_{1})$ 。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

解题步骤 9

使 $u_{2} = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 9.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

解题步骤 10.3

将 $2$ 移到 $\sin (u_{2})$ 的左侧。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

解题步骤 13

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

解题步骤 15

化简。

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

解题步骤 16.2

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$

微积分学 示例

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