微积分学示例

$f (x) = {2.3}^{x}$

解题步骤 1

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2.3$ 。

$f' (x) = {2.3}^{x} \ln (2.3)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\ln (2.3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 ${2.3}^{x} \ln (2.3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ 。

$\ln (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2.3$ 。

$\ln (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

解题步骤 2.3

对 $\ln (2.3)$ 进行 $1$ 次方运算。

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln (2.3))$

解题步骤 2.4

对 $\ln (2.3)$ 进行 $1$ 次方运算。

${2.3}^{x} (\ln^{1} (2.3) \ln^{1} (2.3))$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${2.3}^{x} {\ln (2.3)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = {2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\ln^{2} (2.3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 ${2.3}^{x} \ln^{2} (2.3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ 。

$\ln^{2} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2.3$ 。

$\ln^{2} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $\ln^{2} (2.3)$ 乘以 $\ln (2.3)$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $\ln (2.3)$ 。

$\ln (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 3.3.2

将 $\ln (2.3)$ 乘以 $\ln^{2} (2.3)$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

对 $\ln (2.3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln^{1} (2.3) \ln^{2} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\ln (2.3)}^{1 + 2} \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 3.4

重新排序 $\ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ 的因式。

$f''' (x) = {2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\ln^{3} (2.3)$ 对于 $x$ 是常数，所以 ${2.3}^{x} \ln^{3} (2.3)$ 对 $x$ 的导数是 $\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$ 。

$\ln^{3} (2.3) \frac{d}{d x} [{2.3}^{x}]$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2.3$ 。

$\ln^{3} (2.3) ({2.3}^{x} \ln (2.3))$

解题步骤 4.3

通过指数相加将 $\ln^{3} (2.3)$ 乘以 $\ln (2.3)$ 。

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解题步骤 4.3.1

移动 $\ln (2.3)$ 。

$\ln (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 4.3.2

将 $\ln (2.3)$ 乘以 $\ln^{3} (2.3)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

对 $\ln (2.3)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln^{1} (2.3) \ln^{3} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\ln (2.3)}^{1 + 3} \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$

解题步骤 4.4

重新排序 $\ln^{4} (2.3) \cdot {2.3}^{x}$ 的因式。

$f^{4} (x) = {2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 ${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$ 。

${2.3}^{x} \ln^{4} (2.3)$

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