微积分学示例

$4 x \sec (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)$

解题步骤 1.4.2

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$4 (x (\sec (x) \tan (x))) + 4 \sec (x)$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = 4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \sec (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \sec (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$4 (x \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.2

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.7.2.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.2.8

将 $\sec (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sec (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ 。

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$4 (x \sec^{3} (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$4 (x \sec^{3} (x)) + 4 (\tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 (x (\sec (x) \tan^{2} (x))) + 4 (\tan (x) \sec (x)) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3.5

重新排序 $4 \tan (x) \sec (x)$ 的因式。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 4 \sec (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.3.6

将 $4 \sec (x) \tan (x)$ 和 $4 \sec (x) \tan (x)$ 相加。

$4 x \sec^{3} (x) + 4 x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$f'' (x) = 4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \sec^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \sec^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec^{3} (x)$ 。

$4 (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.6

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.2.9

将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \tan^{2} (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)]$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x \tan^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \tan^{2} (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.5.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.6

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.3.11

将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 \sec (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sec (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

解题步骤 3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.4.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 3.4.4

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.4.5

通过指数相加将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\sec (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.4.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 3.4.6

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

解题步骤 3.4.7

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

解题步骤 3.4.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.4

运用分配律。

$4 (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5

合并项。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 (x (\sec^{3} (x) \tan (x))) + 4 \sec^{3} (x) + 4 (x \tan^{3} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (2 \tan (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 (x (2 \tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 (x (\tan (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{2} (x)) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.6

重新排序 $8 x (\tan (x) \sec^{3} (x))$ 的因式。

$12 x (\sec^{3} (x) \tan (x)) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 8 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.7

将 $12 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ 和 $8 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ 相加。

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

解题步骤 3.5.5.8

将 $4 \sec^{3} (x)$ 和 $8 \sec^{3} (x)$ 相加。

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{2} (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 3.5.5.9

重新排序 $4 \sec (x) \tan^{2} (x)$ 的因式。

$20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x) + 8 \tan^{2} (x) \sec (x)$

解题步骤 3.5.5.10

将 $4 \tan^{2} (x) \sec (x)$ 和 $8 \tan^{2} (x) \sec (x)$ 相加。

$f''' (x) = 20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $20 x \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{2} (x) \sec (x) + 12 \sec^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x \sec^{3} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x \sec^{3} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x \sec^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sec^{3} (x)$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$20 (x \sec^{3} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.8

通过指数相加将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$20 (x (\sec^{2} (x) \sec^{3} (x)) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x {\sec (x)}^{2 + 3} + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.8.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.9

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.11

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.2.12

将 $\sec^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \tan^{3} (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)]$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x \tan^{3} (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x \tan^{3} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \tan^{3} (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.5.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.6

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.8

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x (\tan^{1} (x) \tan^{3} (x)) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x {\tan (x)}^{1 + 3} \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.10

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.3.11

将 $\tan^{3} (x)$ 乘以 $1$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 \tan^{2} (x) \sec (x)]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 \tan^{2} (x) \sec (x)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)]$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan^{2} (x)$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.4.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.4.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.6

通过指数相加将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

移动 $\tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.6.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.4.6.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 ({\tan (x)}^{1 + 2} \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + \sec (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.7

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) {\sec (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.4.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.5

计算 $\frac{d}{d x} [12 \sec^{3} (x)]$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 \sec^{3} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)]$

解题步骤 4.5.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 4.5.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 等于 $n {u_{4}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 4.5.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

解题步骤 4.5.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 4.5.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x))$

解题步骤 4.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x))$

解题步骤 4.5.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 12 (3 \sec^{3} (x) \tan (x))$

解题步骤 4.5.7

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x))) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

运用分配律。

$20 (x \sec^{5} (x) + \tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.2

运用分配律。

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{3} (x))) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.3

运用分配律。

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x) + \sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))) + \sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.4

运用分配律。

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x) + 2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.5

运用分配律。

$20 (x \sec^{5} (x)) + 20 (\tan (x) (x (3 \sec^{3} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6

合并项。

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解题步骤 4.6.6.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) {\tan (x)}^{1 + 1})) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$20 x \sec^{5} (x) + 20 (x (3 \sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.5

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 (x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x))) + 20 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 4 (x \tan^{4} (x) \sec (x)) + 4 (\sec (x) (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.6

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 2})) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 (x (3 \tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.9

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 (x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))) + 4 (\sec (x) \tan^{3} (x)) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.10

重新排序 $12 x (\tan^{2} (x) \sec^{3} (x))$ 的因式。

$20 x \sec^{5} (x) + 60 x (\sec^{3} (x) \tan^{2} (x)) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.11

将 $60 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ 和 $12 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x)$ 相加。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 (\tan^{3} (x) \sec (x)) + 12 (2 \tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.12

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \sec (x) \tan^{3} (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 (\tan (x) \sec^{3} (x)) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.13

重新排序 $4 \sec (x) \tan^{3} (x)$ 的因式。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 4 \tan^{3} (x) \sec (x) + 12 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.14

将 $4 \tan^{3} (x) \sec (x)$ 和 $12 \tan^{3} (x) \sec (x)$ 相加。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 20 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 24 \tan (x) \sec^{3} (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.15

将 $20 \tan (x) \sec^{3} (x)$ 和 $24 \tan (x) \sec^{3} (x)$ 相加。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \tan (x) \sec^{3} (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.16

重新排序 $44 \tan (x) \sec^{3} (x)$ 的因式。

$20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 44 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x) + 36 \sec^{3} (x) \tan (x)$

解题步骤 4.6.6.17

将 $44 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 和 $36 \sec^{3} (x) \tan (x)$ 相加。

$f^{4} (x) = 20 x \sec^{5} (x) + 72 x \sec^{3} (x) \tan^{2} (x) + 80 \sec^{3} (x) \tan (x) + 4 x \tan^{4} (x) \sec (x) + 16 \tan^{3} (x) \sec (x)$

微积分学 示例

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