微积分学示例

$2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \cos (x) + \frac{1}{2} (2 x)$

解题步骤 1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \cos (x) + \frac{2}{2} x$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

解题步骤 1.3.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

$2 \cos (x) + \frac{2 x}{2}$

解题步骤 1.3.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$2 \cos (x) + x$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$f' (x) = x + 2 \cos (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$1 + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $1 - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 3.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$0 - 2 \cos (x)$

解题步骤 3.3

从 $0$ 中减去 $2 \cos (x)$ 。

$f''' (x) = - 2 \cos (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 2 (- \sin (x))$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{4} (x) = 2 \sin (x)$

微积分学 示例

微积分学示例