微积分学示例

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = x^{5} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2.2.3

约去公因数。

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2.2.4

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.2.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} \ln (x))$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.5

组合 $x^{4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6

约去 $x^{4}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6.2.3

约去公因数。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6.2.4

重写表达式。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.2.6.2.5

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

解题步骤 2.3.2

合并项。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

解题步骤 2.3.2.2

将 $4 x^{3}$ 和 $5 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} \ln (x)]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + \frac{d}{d x} (20 x^{3} \ln (x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

解题步骤 3.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.5

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6.2.3

约去公因数。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6.2.4

重写表达式。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.3.6.2.5

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 x^{2} + 20 (\ln (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f''' (x) = 27 x^{2} + 20 x^{2} + 60 (\ln (x) (x^{2}))$

解题步骤 3.4.2.2

将 $27 x^{2}$ 和 $20 x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = 47 x^{2} + 60 \ln (x) x^{2}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$f''' (x) = 47 x^{2} + 60 x^{2} \ln (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $47 x^{2} + 60 x^{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [47 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2} \ln (x)]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (47 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [47 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $47$ 对于 $x$ 是常数，所以 $47 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $47 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = 47 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 47 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $47$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + \frac{d}{d x} (60 x^{2} \ln (x))$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{2} \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{2} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 4.3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.5

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6.2.3

约去公因数。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6.2.4

重写表达式。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.3.6.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 (x + \ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 x + 60 (\ln (x) (2 x))$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$f^{4} (x) = 94 x + 60 x + 120 (\ln (x) (x))$

解题步骤 4.4.2.2

将 $94 x$ 和 $60 x$ 相加。

$f^{4} (x) = 154 x + 120 \ln (x) x$

解题步骤 4.4.3

重新排序项。

$f^{4} (x) = 120 x \ln (x) + 154 x$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $120 x \ln (x) + 154 x$ 。

$120 x \ln (x) + 154 x$

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