微积分学示例

$f (x) = e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{9 x} + 7 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{9 x} (9 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$e^{9 x} \cdot 9 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.2.5

将 $9$ 移到 $e^{9 x}$ 的左侧。

$9 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 \cos (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$9 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 1.3.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 e^{9 x} + 7 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 1.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

解题步骤 1.3.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 1.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$9 e^{9 x} + 7 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) + 7 (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = 9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $9 e^{9 x} + 7 \cos^{2} (x) - 7 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 e^{9 x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $9 x$ 。

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$9 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.6

将 $9$ 移到 $e^{9 x}$ 的左侧。

$9 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.7

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$81 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$81 e^{9 x} + 7 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$81 e^{9 x} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$81 e^{9 x} + 7 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$81 e^{9 x} + 7 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$81 e^{9 x} + 7 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

合并项。

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解题步骤 2.5.1.1

重新排序 $- 14 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$81 e^{9 x} - 14 \cos (x) \sin (x) - 14 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.5.1.2

从 $- 14 \cos (x) \sin (x)$ 中减去 $14 \cos (x) \sin (x)$ 。

$81 e^{9 x} - 28 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$f'' (x) = - 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 28 \cos (x) \sin (x) + 81 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 28 \cos (x) \sin (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 28 \cos (x) \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ 。

$- 28 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$- 28 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- 28 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 28 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [81 e^{9 x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $81$ 对于 $x$ 是常数，所以 $81 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} (9 \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (e^{9 x} \cdot 9)$

解题步骤 3.3.6

将 $9$ 移到 $e^{9 x}$ 的左侧。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 81 (9 \cdot e^{9 x})$

解题步骤 3.3.7

将 $9$ 乘以 $81$ 。

$- 28 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$- 28 \cos^{2} (x) - 28 (- \sin^{2} (x)) + 729 e^{9 x}$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 28$ 。

$- 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x) + 729 e^{9 x}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$f''' (x) = 729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $729 e^{9 x} - 28 \cos^{2} (x) + 28 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [729 e^{9 x}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $729$ 对于 $x$ 是常数，所以 $729 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$729 \frac{d}{d x} [e^{9 x}] + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $9 x$ 。

$729 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$729 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$729 (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$729 (e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$729 (e^{9 x} (9 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$729 (e^{9 x} \cdot 9) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.6

将 $9$ 移到 $e^{9 x}$ 的左侧。

$729 (9 \cdot e^{9 x}) + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.2.7

将 $9$ 乘以 $729$ 。

$6561 e^{9 x} + \frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 28 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $- 28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 28 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (x)$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6561 e^{9 x} - 28 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 28$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [28 \sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 4.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.4.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4.4.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 28 (2 \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 4.4.4

将 $2$ 乘以 $28$ 。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

合并项。

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解题步骤 4.5.1.1

重新排序 $56 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$6561 e^{9 x} + 56 \cos (x) \sin (x) + 56 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 4.5.1.2

将 $56 \cos (x) \sin (x)$ 和 $56 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$6561 e^{9 x} + 112 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 4.5.2

重新排序项。

$f^{4} (x) = 112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$ 。

$112 \cos (x) \sin (x) + 6561 e^{9 x}$

微积分学 示例

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