微积分学示例

$f (x) = \sqrt[3]{5 x^{2} + 15}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5 x^{2} + 15}$ 重写成 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 15$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 15$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.2.3

使用 $5 x^{2} + 15$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $5 x^{2} + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15))$

解题步骤 1.9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15))$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (15))$

解题步骤 1.11

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (10 x + \frac{d}{d x} (15))$

解题步骤 1.12

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (10 x + 0)$

解题步骤 1.13

合并分数。

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解题步骤 1.13.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (10 x)$

解题步骤 1.13.2

组合 $10$ 和 $\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{10}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

解题步骤 1.13.3

组合 $\frac{10}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{10 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{10}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 15$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 15$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $5 x^{2} + 15$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.9.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - x (\frac{2}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.9.4

组合 $\frac{2}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $5 x^{2} + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (10 x + \frac{d}{d x} (15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.14

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (10 x + 0)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15

合并分数。

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解题步骤 2.15.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (10 x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - 10 \frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.3

组合 $- 10$ 和 $\frac{2 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10 (2 x)}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.4

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.15.5

组合 $\frac{- 20 x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 x \cdot x}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 (x \cdot x)}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 (x \cdot x)}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 x^{1 + 1}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.20

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} - \frac{(20) x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.21

要将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.22

组合 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.23

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.24

通过指数相加将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.24.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.24.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.24.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.24.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.24.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.25

化简 ${(5 x^{2} + 15)}^{1} \cdot 3$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{(5 x^{2} + 15) \cdot 3 - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.26

将 $3$ 移到 $5 x^{2} + 15$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.27

将 $\frac{\frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}})$

解题步骤 2.28

将 $\frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.29

通过指数相加将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.29.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 2.29.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.29.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

解题步骤 2.29.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.30

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2}}{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2})}{3 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.31

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (3 (5 x^{2} + 15) - 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32

化简。

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解题步骤 2.32.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{10 (3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 15 - 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{10 (3 (5 x^{2})) + 10 (3 \cdot 15) + 10 (- 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3

化简分子。

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解题步骤 2.32.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.32.3.1.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (15 x^{2}) + 10 (3 \cdot 15) + 10 (- 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3.1.2

将 $15$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{150 x^{2} + 10 (3 \cdot 15) + 10 (- 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3.1.3

乘以 $10 (3 \cdot 15)$ 。

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解题步骤 2.32.3.1.3.1

将 $3$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = \frac{150 x^{2} + 10 \cdot 45 + 10 (- 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3.1.3.2

将 $10$ 乘以 $45$ 。

$f'' (x) = \frac{150 x^{2} + 450 + 10 (- 20 x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3.1.4

将 $- 20$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{150 x^{2} + 450 - 200 x^{2}}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.3.2

从 $150 x^{2}$ 中减去 $200 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 50 x^{2} + 450}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4

化简分子。

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解题步骤 2.32.4.1

从 $- 50 x^{2} + 450$ 中分解出因数 $50$ 。

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解题步骤 2.32.4.1.1

从 $- 50 x^{2}$ 中分解出因数 $50$ 。

$f'' (x) = \frac{50 (- x^{2}) + 450}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4.1.2

从 $450$ 中分解出因数 $50$ 。

$f'' (x) = \frac{50 (- x^{2}) + 50 (9)}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4.1.3

从 $50 (- x^{2}) + 50 (9)$ 中分解出因数 $50$ 。

$f'' (x) = \frac{50 (- x^{2} + 9)}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{50 (- x^{2} + 3^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $3^{2}$ 重新排序。

$f'' (x) = \frac{50 (3^{2} - x^{2})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.32.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$f'' (x) = \frac{50 (3 + x) (3 - x)}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $\frac{50}{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{50 (3 + x) (3 - x)}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{50}{9} \frac{d}{d x} [\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(3 + x) (3 - x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (3 + x) (3 - x)$ 且 $g (x) = {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} ((3 + x) (3 - x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 ${({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} ((3 + x) (3 - x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $2$ 。

解题步骤 3.3.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} ((3 + x) (3 - x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 + x$ 且 $g (x) = 3 - x$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) \frac{d}{d x} (3 - x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $3 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.6

化简表达式。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} ((3 + x) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $- 1$ 移到 $3 + x$ 的左侧。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot (3 + x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.6.3

将 $- 1 (3 + x)$ 重写为 $- (3 + x)$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (3 + x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.7

根据加法法则， $3 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + (3 - x) (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (x))) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + (3 - x) (0 + \frac{d}{d x} (x))) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + (3 - x) \frac{d}{d x} (x)) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + (3 - x) \cdot 1) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.5.11

将 $3 - x$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 15$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 15$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{3}}) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.6.3

使用 $5 x^{2} + 15$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.9

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.10

化简分子。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.10.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{5}{3}$ 和 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $5 x^{2} + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.13

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.15

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (10 x + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.16

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.17

合并分数。

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解题步骤 3.17.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot (10 x))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.17.2

组合 $10$ 和 $\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{10 (5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3} \cdot x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.17.3

将 $5$ 乘以 $10$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.17.4

组合 $\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50}{9} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.17.5

将 $\frac{50}{9}$ 乘以 $\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- (3 + x) + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18

化简。

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解题步骤 3.18.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x) - (3 + x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x) + (- 1 \cdot 3 - x) (3 - x) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x)) + 50 ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4

化简分子。

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解题步骤 3.18.4.1

从 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x) + 50 (- 1 \cdot 3 - x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}$ 中分解出因数 $50$ 。

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解题步骤 3.18.4.1.1

从 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x)$ 中分解出因数 $50$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x)) + 50 (- 1 \cdot 3 - x) (3 - x) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.1.2

从 $50 (- 1 \cdot 3 - x) (3 - x) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}$ 中分解出因数 $50$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x)) + 50 (((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.1.3

从 $50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x)) + 50 (((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3})$ 中分解出因数 $50$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot 3 - x + 3 - x) + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 3 - x + 3 - x) + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.3

合并 $- 3 - x + 3 - x$ 中相反的项。

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解题步骤 3.18.4.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x + 0 - x) + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.3.2

将 $- x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x - x) + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.4

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 2 x) + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.5

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + ((- 1 \cdot 3 - x) (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 3 - x) (3 - x) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.7

使用 FOIL 方法展开 $(- 3 - x) (3 - x)$ 。

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解题步骤 3.18.4.7.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 3 (3 - x) - x (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.7.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 3 \cdot 3 - 3 (- x) - x (3 - x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.7.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 3 \cdot 3 - 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.18.4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.18.4.8.1.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 - 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x - x (- x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.18.4.8.1.5.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 3 x - 3 x + x^{2}) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.2

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + 0 + x^{2}) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.8.3

将 $- 9$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + (- 9 + x^{2}) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.9

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 9 \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3} + x^{2} (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.18.4.10.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + 3 (- 3) (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}) + x^{2} (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.10.2

约去公因数。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + 3 \cdot (- 3 \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}) + x^{2} (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.10.3

重写表达式。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 3 (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + x^{2} (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.11

将 $50$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + x^{2} (\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}))}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.12

乘以 $x^{2} \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}$ 。

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解题步骤 3.18.4.12.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + \frac{x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.12.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.18.4.12.2.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + \frac{x \cdot x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.18.4.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + \frac{x \cdot x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + \frac{x^{1 + 2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.12.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x) + \frac{x^{3} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13

化简每一项。

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解题步骤 3.18.4.13.1

化简分子。

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解题步骤 3.18.4.13.1.1

重写。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.18.4.13.1.2.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x \cdot x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.18.4.13.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x \cdot x^{2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{1 + 2} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{3} (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.1.3

去掉多余的括号。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{3} \cdot (50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.13.2

将 $50$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x + \frac{50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.14

要将 $- 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x - 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x \cdot \frac{3}{3} + \frac{50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.15

组合 $- 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{- 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x \cdot 3}{3} + \frac{50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.16

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{- 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x \cdot 3 + 50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17

化简分子。

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解题步骤 3.18.4.17.1

从 $- 150 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x \cdot 3 + 50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

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解题步骤 3.18.4.17.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.18.4.17.1.1.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{- 150 x \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}) + 50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.1.1.2

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{- 150 \cdot (3 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}) + 50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.1.2

从 $- 150 \cdot 3 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 \cdot 3) + 50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.1.3

从 $50 x^{3} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 \cdot 3) + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.1.4

从 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 \cdot 3) + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2})$ 中分解出因数 $50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 \cdot 3 + x^{2})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.2

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 9 + x^{2})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3^{2} + x^{2})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.4

将 $- 3^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 3^{2})}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.17.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.18

要将 $- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x \cdot \frac{3}{3} + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.19

组合 $- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x \cdot 3}{3} + \frac{50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.20

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x \cdot 3 + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21

以因式分解的形式重写 $\frac{- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x \cdot 3 + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3}$ 。

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解题步骤 3.18.4.21.1

从 $- 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x \cdot 3 + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

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解题步骤 3.18.4.21.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 3.18.4.21.1.1.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{- 2 x \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}) + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.1.1.2

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{- 2 \cdot (3 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}) + 50 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.1.1.3

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{- 2 \cdot (3 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}) + 50 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.1.2

从 $- 2 \cdot 3 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 1 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})) + 50 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} (x + 3) (x - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.1.3

从 $50 x {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 1 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})) + 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x ((25 (x + 3)) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.1.4

从 $2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 1 \cdot 3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}) + 2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x ((25 (x + 3)) (x - 3))$ 中分解出因数 $2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 1 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}) + (25 (x + 3)) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.21.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}} + (25 (x + 3)) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.22

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.18.4.22.1

约去公因数。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}} + (25 (x + 3)) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.22.2

重写表达式。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 (5 x^{2} + 15) + (25 (x + 3)) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23

化简分子。

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解题步骤 3.18.4.23.1

化简。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 (5 x^{2} + 15) + 25 (x + 3) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 3 (5 x^{2}) - 3 \cdot 15 + 25 (x + 3) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 3 \cdot 15 + 25 (x + 3) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.4

将 $- 3$ 乘以 $15$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 (x + 3) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.5

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + (25 x + 25 \cdot 3) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.6

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + (25 x + 75) (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.7

使用 FOIL 方法展开 $(25 x + 75) (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.18.4.23.7.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x (x - 3) + 75 (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.7.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot - 3 + 75 (x - 3))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.7.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.18.4.23.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.18.4.23.8.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.18.4.23.8.1.1.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x^{2} + 25 x \cdot - 3 + 75 x + 75 \cdot - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8.1.2

将 $- 3$ 乘以 $25$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x^{2} - 75 x + 75 x + 75 \cdot - 3)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8.1.3

将 $75$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x^{2} - 75 x + 75 x - 225)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8.2

将 $- 75 x$ 和 $75 x$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x^{2} + 0 - 225)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.8.3

将 $25 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (- 15 x^{2} - 45 + 25 x^{2} - 225)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.9

将 $- 15 x^{2}$ 和 $25 x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (10 x^{2} - 45 - 225)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.10

从 $- 45$ 中减去 $225$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (10 x^{2} - 270)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.11

从 $10 x^{2} - 270$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 3.18.4.23.11.1

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (10 (x^{2}) - 270)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.11.2

从 $- 270$ 中分解出因数 $10$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (10 x^{2} + 10 \cdot - 27)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.11.3

从 $10 x^{2} + 10 \cdot - 27$ 中分解出因数 $10$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (10 (x^{2} - 27))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{2 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x \cdot (10 (x^{2} - 27))}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.4.23.12

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{50 (\frac{20 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3})}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5

合并项。

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解题步骤 3.18.5.1

组合 $50$ 和 $\frac{20 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3}$ 。

$f''' (x) = \frac{\frac{50 (20 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27))}{3}}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.2

将 $20$ 乘以 $50$ 。

$f''' (x) = \frac{\frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27))}{3}}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.3

将 $\frac{\frac{1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3}}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f''' (x) = \frac{1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3} \cdot \frac{1}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.4

将 $\frac{1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3}$ 乘以 $\frac{1}{9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$ 。

$f''' (x) = \frac{1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{3 (9 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}})}$

解题步骤 3.18.5.5

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}} x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = \frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.7

通过指数相加将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}}$ 乘以 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.18.5.7.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f''' (x) = \frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 ({(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{10}{3}})}$

解题步骤 3.18.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{2}{3} + \frac{10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.7.3

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = \frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{- 2 + 10}{3}}}$

解题步骤 3.18.5.7.4

将 $- 2$ 和 $10$ 相加。

$f''' (x) = \frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{1000}{27}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1000 x (x^{2} - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1000}{27} \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}})$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 27)$ 且 $g (x) = {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 27)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 27)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\frac{8}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $2$ 。

解题步骤 4.3.2.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 27)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 27$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 27) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.5

求微分。

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解题步骤 4.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27)) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 27)) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.5.3

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (x (2 x) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (2 x^{2} + (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (2 x^{2} + (x^{2} - 27) \cdot 1) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.9.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.9.3.1

将 $x^{2} - 27$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (2 x^{2} + x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.9.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{8}{3}}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 15$ 。

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解题步骤 4.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} + 15$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{8}{3}}) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{8}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} u^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.10.3

使用 $5 x^{2} + 15$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.13

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.14.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8}{3} \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.15

合并分数。

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解题步骤 4.15.1

组合 $\frac{8}{3}$ 和 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - x (x^{2} - 27) (\frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.15.2

组合 $\frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 和 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} (5 x^{2} + 15)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.16

根据加法法则， $5 x^{2} + 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.17

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.19

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (10 x + \frac{d}{d x} (15)))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.20

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (10 x + 0))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.21

合并分数。

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解题步骤 4.21.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) (10 x))}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.21.2

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - 10 \frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3} \cdot ((x^{2} - 27) x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.21.3

组合 $- 10$ 和 $\frac{8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{- 10 (8 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x)}{3} \cdot ((x^{2} - 27) x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.21.4

将 $8$ 乘以 $- 10$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{- 80 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x)}{3} \cdot ((x^{2} - 27) x)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.21.5

组合 $x$ 和 $\frac{- 80 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x)}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{x (- 80 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} x))}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{x \cdot x (- 80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 4.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{x^{1 + 1} (- 80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.25

化简表达式。

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解题步骤 4.25.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + \frac{x^{2} (- 80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.25.2

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{x^{2} \cdot (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.25.3

将 $80$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{1000}{27} \cdot \frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{80 \cdot (x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} \cdot (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.26

将 $\frac{1000}{27}$ 乘以 $\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} (x^{2} - 27)}{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27

化简。

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解题步骤 4.27.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27)) + 1000 (- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2

化简分子。

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解题步骤 4.27.2.1

从 $1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) + 1000 (- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} (x^{2} - 27))$ 中分解出因数 $1000$ 。

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解题步骤 4.27.2.1.1

从 $1000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27)$ 中分解出因数 $1000$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27)) + 1000 (- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.1.2

从 $1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27)) + 1000 (- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} (x^{2} - 27))$ 中分解出因数 $1000$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2} - 27) - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} (3 x^{2}) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot - 27 - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot - 27 - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.4

将 $- 27$ 移到 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 \cdot {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot (x^{2} - 27))}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.5

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot x^{2} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.6

乘以 $- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} x^{2}$ 。

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解题步骤 4.27.2.6.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2} (80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.27.2.6.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2} x^{2} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2 + 2} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.6.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{4} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} - \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.27.2.7.1

将 $- \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{4} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + \frac{- 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} \cdot - 27)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.7.2

从 $- 27$ 中分解出因数 $3$ 。

解题步骤 4.27.2.7.3

约去公因数。

解题步骤 4.27.2.7.4

重写表达式。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{4} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} - 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \cdot - 9)}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.8

将 $- 9$ 乘以 $- 80$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{4} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.9

化简每一项。

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解题步骤 4.27.2.9.1

化简分子。

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解题步骤 4.27.2.9.1.1

重写。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2} (80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.9.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.27.2.9.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2} x^{2} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{2 + 2} (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.9.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

解题步骤 4.27.2.9.1.3

去掉多余的括号。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{x^{4} \cdot (80 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.9.2

将 $80$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.10

要将 $720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

解题步骤 4.27.2.11

组合 $720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} - \frac{80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.12

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{- 80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13

化简分子。

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解题步骤 4.27.2.13.1

从 $- 80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} + 720 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \cdot 3$ 中分解出因数 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 4.27.2.13.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.27.2.13.1.1.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{- 80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} + 720 x^{2} \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13.1.1.2

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{- 80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} + 720 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13.1.2

从 $- 80 x^{4} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2}) + 720 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13.1.3

从 $720 \cdot 3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2}) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot 3)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13.1.4

从 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2}) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot 3)$ 中分解出因数 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 9 \cdot 3)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.13.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.14

要将 $3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.15

组合 $3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.16

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.17

要将 $- 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3} - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot \frac{3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.18

组合 $- 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)}{3} + \frac{- 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.19

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20

以因式分解的形式重写 $\frac{3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3}$ 。

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解题步骤 4.27.2.20.1

从 $3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} x^{2} \cdot 3 + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 4.27.2.20.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.27.2.20.1.1.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 x^{2} \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.1.2

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}} \cdot 3}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.1.3

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.2

从 $3 \cdot 3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})) + 80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.3

从 $80 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 27)$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (80 x^{2} (- x^{2} + 27)) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.4

从 $- 27 \cdot 3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{8}{3}}$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (80 x^{2} (- x^{2} + 27)) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.5

从 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot 3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (80 x^{2} (- x^{2} + 27))$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}) + 80 x^{2} (- x^{2} + 27)) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.1.6

从 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot 3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27)) + {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 27 \cdot 3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})$ 中分解出因数 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (3 \cdot (3 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}) + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 x^{2} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.3

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 x^{2} (5 x^{2} + 15) + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.4

化简。

解题步骤 4.27.2.20.5

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 x^{2} (5 x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 15 + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.6

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 15 + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.7

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.8

化简每一项。

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解题步骤 4.27.2.20.8.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.27.2.20.8.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.8.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (9 \cdot (5 x^{4}) + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.8.2

将 $9$ 乘以 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2} + 27) - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.9

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 x^{2} (- x^{2}) + 80 x^{2} \cdot 27 - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.10

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) + 80 x^{2} \cdot 27 - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.11

将 $27$ 乘以 $80$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) + 2160 x^{2} - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.12

化简每一项。

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解题步骤 4.27.2.20.12.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.27.2.20.12.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) + 2160 x^{2} - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) + 2160 x^{2} - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.12.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} + 80 \cdot (- 1 x^{4}) + 2160 x^{2} - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.12.2

将 $80$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 27 \cdot (3 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}}))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.13

将 $- 27$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{3}{3}})}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.14

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 81 (5 x^{2} + 15))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.15

化简。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 81 (5 x^{2} + 15))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.16

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 81 (5 x^{2}) - 81 \cdot 15)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.17

将 $5$ 乘以 $- 81$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 405 x^{2} - 81 \cdot 15)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.18

将 $- 81$ 乘以 $15$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (45 x^{4} + 135 x^{2} - 80 x^{4} + 2160 x^{2} - 405 x^{2} - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.19

从 $45 x^{4}$ 中减去 $80 x^{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 35 x^{4} + 135 x^{2} + 2160 x^{2} - 405 x^{2} - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.20

将 $135 x^{2}$ 和 $2160 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 35 x^{4} + 2295 x^{2} - 405 x^{2} - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.21

从 $2295 x^{2}$ 中减去 $405 x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 35 x^{4} + 1890 x^{2} - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.22

从 $- 35 x^{4} + 1890 x^{2} - 1215$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 4.27.2.20.22.1

从 $- 35 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (5 (- 7 x^{4}) + 1890 x^{2} - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.22.2

从 $1890 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (5 (- 7 x^{4}) + 5 (378 x^{2}) - 1215)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.22.3

从 $- 1215$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (5 (- 7 x^{4}) + 5 (378 x^{2}) + 5 (- 243))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.22.4

从 $5 (- 7 x^{4}) + 5 (378 x^{2})$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (5 (- 7 x^{4} + 378 x^{2}) + 5 (- 243))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.20.22.5

从 $5 (- 7 x^{4} + 378 x^{2}) + 5 (- 243)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (5 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{{(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} \cdot (5 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243))}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.2.21

将 $5$ 移到 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{1000 (\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3})}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3

合并项。

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解题步骤 4.27.3.1

组合 $1000$ 和 $\frac{5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{\frac{1000 (5 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243))}{3}}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.2

将 $5$ 乘以 $1000$ 。

$f^{4} (x) = \frac{\frac{5000 ({(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243))}{3}}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.3

将 $\frac{\frac{5000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3}}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f^{4} (x) = \frac{5000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3} \cdot \frac{1}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.4

将 $\frac{5000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3}$ 乘以 $\frac{1}{27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{3 (27 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}})}$

解题步骤 4.27.3.5

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}} (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{5}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.7

通过指数相加将 ${(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}}$ 乘以 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 4.27.3.7.1

移动 ${(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{5}{3}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 ({(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{5}{3}} {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{16}{3}})}$

解题步骤 4.27.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{- \frac{5}{3} + \frac{16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.7.3

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{- 5 + 16}{3}}}$

解题步骤 4.27.3.7.4

将 $- 5$ 和 $16$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 7 x^{4} + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.4

从 $- 7 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- (7 x^{4}) + 378 x^{2} - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.5

从 $378 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- (7 x^{4}) - (- 378 x^{2}) - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.6

从 $- (7 x^{4}) - (- 378 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- (7 x^{4} - 378 x^{2}) - 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.7

将 $- 243$ 重写为 $- 1 (243)$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- (7 x^{4} - 378 x^{2}) - 1 \cdot 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.8

从 $- (7 x^{4} - 378 x^{2}) - 1 (243)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243))}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.9

将 $- (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243)$ 重写为 $- 1 (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243)$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5000 (- 1 (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243))}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 4.27.10

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{5000 (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{5000 (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$ 。

$- \frac{5000 (7 x^{4} - 378 x^{2} + 243)}{81 {(5 x^{2} + 15)}^{\frac{11}{3}}}$

微积分学 示例

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