微积分学示例

$y = 3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{3}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{3})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 3 x$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (3 {(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x))$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x))$

解题步骤 1.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)]$ 。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3))$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 3) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 3 x)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = 9 (2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 3 x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 3 x$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 移到 $2 x + 3$ 的左侧。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 \cdot ((2 x + 3) (x^{2} + 3 x)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x)))$

解题步骤 2.5.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1))$

解题步骤 2.5.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3))$

解题步骤 2.6

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.7

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2}) + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.10.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 ({(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

解题步骤 2.10.4

从 $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ 中分解出因数 $18 (x^{2} + 3 x)$ 。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $18 {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ 中分解出因数 $18 (x^{2} + 3 x)$ 。

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$

解题步骤 2.10.4.2

从 $18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ 中分解出因数 $18 (x^{2} + 3 x)$ 。

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$

解题步骤 2.10.4.3

从 $18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$ 中分解出因数 $18 (x^{2} + 3 x)$ 。

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

解题步骤 2.10.5

运用分配律。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 18 (3 x)) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

解题步骤 2.10.6

将 $3$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

解题步骤 2.10.7

化简每一项。

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解题步骤 2.10.7.1

将 ${(2 x + 3)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + (2 x + 3) (2 x + 3))$

解题步骤 2.10.7.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 。

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解题步骤 2.10.7.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))$

解题步骤 2.10.7.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))$

解题步骤 2.10.7.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.7.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.7.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)$

解题步骤 2.10.7.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)$

解题步骤 2.10.7.3.2

将 $6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 12 x + 9)$

解题步骤 2.10.8

将 $x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 3 x + 12 x + 9)$

解题步骤 2.10.9

将 $3 x$ 和 $12 x$ 相加。

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$

解题步骤 2.10.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$ 。

$f'' (x) = 18 x^{2} (5 x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11

化简每一项。

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解题步骤 2.10.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.11.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 18 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{4}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.3

将 $18$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.11.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.11.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.6

将 $18$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.7

将 $9$ 乘以 $18$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.8

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x \cdot x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.11.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.9.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.11.9.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{2 + 1}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.9.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{3}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.10

将 $54$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.11

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x \cdot x) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.12

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.11.12.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 (x \cdot x)) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.12.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x^{2}) + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.13

将 $54$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 54 x \cdot 9$

解题步骤 2.10.11.14

将 $9$ 乘以 $54$ 。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 486 x$

解题步骤 2.10.12

将 $270 x^{3}$ 和 $270 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 162 x^{2} + 810 x^{2} + 486 x$

解题步骤 2.10.13

将 $162 x^{2}$ 和 $810 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [540 x^{3}] + \frac{d}{d x} [972 x^{2}] + \frac{d}{d x} [486 x]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [90 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $90$ 对于 $x$ 是常数，所以 $90 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f''' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f''' (x) = 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 乘以 $90$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [540 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $540$ 对于 $x$ 是常数，所以 $540 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $540 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $540$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [972 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $972$ 对于 $x$ 是常数，所以 $972 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $972 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 (2 x) + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 乘以 $972$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + \frac{d}{d x} (486 x)$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [486 x]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $486$ 对于 $x$ 是常数，所以 $486 x$ 对 $x$ 的导数是 $486 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \cdot 1$

解题步骤 3.5.3

将 $486$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1620 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1944 x] + \frac{d}{d x} [486]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (360 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [360 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $360$ 对于 $x$ 是常数，所以 $360 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f^{4} (x) = 360 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f^{4} (x) = 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.2.3

将 $3$ 乘以 $360$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [1620 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $1620$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1620 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $1620 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 (2 x) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $1620$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.4

计算 $\frac{d}{d x} [1944 x]$ 。

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解题步骤 4.4.1

因为 $1944$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1944 x$ 对 $x$ 的导数是 $1944 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.4.3

将 $1944$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + \frac{d}{d x} (486)$

解题步骤 4.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.5.1

因为 $486$ 对于 $x$ 是常数，所以 $486$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + 0$

解题步骤 4.5.2

将 $1080 x^{2} + 3240 x + 1944$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944$

微积分学 示例

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