微积分学示例

$y = \ln (\sin (x))$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\csc (x) \cos (x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序 $\csc (x) \cos (x)$ 的因式。

$\cos (x) \csc (x)$

解题步骤 1.4.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 1.4.3

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 1.4.4

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$f' (x) = \cot (x)$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \csc^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.2.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 3.4

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

解题步骤 3.6

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

解题步骤 3.7

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

解题步骤 3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \csc^{2} (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $\csc^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $\csc^{2} (x)$ 。

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 移到 $\csc^{4} (x)$ 的左侧。

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.5.2

将 $- 1 \csc^{4} (x)$ 重写为 $- \csc^{4} (x)$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

解题步骤 4.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 4.6.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

解题步骤 4.7

将 $2$ 移到 $\cot (x)$ 的左侧。

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

解题步骤 4.8

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

解题步骤 4.10

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 4.11

对 $\cot (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 4.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 4.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

解题步骤 4.14

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

解题步骤 4.15

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

解题步骤 4.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 4.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 4.18

化简。

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解题步骤 4.18.1

运用分配律。

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 4.18.2

合并项。

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解题步骤 4.18.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

解题步骤 4.18.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

解题步骤 4.18.3

重新排序项。

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$

微积分学 示例

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