微积分学示例

$y = 9 \tan (\frac{x}{3})$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 \tan (\frac{x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$9 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 1.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$9 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

化简项。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{9}{3}$ 和 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{9 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从 $9 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{3 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.2.4

用 $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ 除以 $1$ 。

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.4.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.4.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.5

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.6

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 2.9

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.10

化简项。

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解题步骤 2.10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $6$ 。

$\frac{6}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{6}{3}$ 和 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.3

组合 $\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.4

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.10.4.2.4

用 $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ 除以 $1$ 。

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 1$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ 且 $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.3.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.3.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 乘以 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 ({\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.5.4

将 $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 3.6.3

使用 $\sec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 移到 $\tan (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.8.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.8.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.9

对 $\tan (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.10

对 $\tan (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{1} (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 {\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

解题步骤 3.13

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 3.14

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

解题步骤 3.17

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.18

合并分数。

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解题步骤 3.18.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2}{3} \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.18.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.18.3

组合 $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1)$

解题步骤 3.20

将 $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3})$

解题步骤 3.21

化简。

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解题步骤 3.21.1

运用分配律。

$2 \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 3.21.2

合并项。

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解题步骤 3.21.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 3.21.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 (2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3}$

解题步骤 3.21.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{2}{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.2.3

使用 $\sec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.3.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.4

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.6

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.7

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.8

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.9

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $4$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} \sec^{3} (\frac{x}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.10

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3}$ 和 $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4 \sec^{3} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.11

通过指数相加将 $\sec (\frac{x}{3})$ 乘以 $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.11.1

移动 $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.11.2

将 $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ 乘以 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.2.11.2.1

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{3 + 1} \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.11.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.12

将 $4$ 移到 $\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4 \cdot (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.13

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{2 (4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.14

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.2.15

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan^{2} (\frac{x}{3})$ 且 $g (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})] + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $\sec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.4.2

$\sec (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.4.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.5

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

解题步骤 4.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{5}$ 设为 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 4.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ 等于 $n {u_{5}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{5} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 4.3.7.3

使用 $\tan (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $u_{5}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

解题步骤 4.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{3}$ 。

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解题步骤 4.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{6}$ 设为 $\frac{x}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{6}} [\tan (u_{6})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

解题步骤 4.3.8.2

$\tan (u_{6})$ 对 $u_{6}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{6})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

解题步骤 4.3.8.3

使用 $\frac{x}{3}$ 替换所有出现的 $u_{6}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

解题步骤 4.3.9

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))))$

解题步骤 4.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.13

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.14

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \sec (\frac{x}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.15

组合 $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ 和 $\sec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.16

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.17

对 $\sec (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1}}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.20

将 $2$ 移到 $\tan (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.21

组合 $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ 和 $\frac{2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.22

通过指数相加将 $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ 乘以 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.22.1

移动 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.22.2

将 $\tan (\frac{x}{3})$ 乘以 $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.22.2.1

对 $\tan (\frac{x}{3})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.22.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{{\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.22.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{3} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.23

将 $2$ 移到 $\tan^{3} (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \cdot \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

解题步骤 4.3.24

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})))$

解题步骤 4.3.25

组合 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

解题步骤 4.3.26

组合 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \tan (\frac{x}{3})))$

解题步骤 4.3.27

组合 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ 和 $\tan (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2 \tan (\frac{x}{3})}{3})$

解题步骤 4.3.28

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

解题步骤 4.3.29

组合 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 和 $\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

解题步骤 4.3.30

通过指数相加将 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 乘以 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

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解题步骤 4.3.30.1

移动 $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

解题步骤 4.3.30.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

解题步骤 4.3.30.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

解题步骤 4.3.31

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ 的左侧。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 4.4.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 4.4.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

解题步骤 4.4.2.4

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.2.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

解题步骤 4.4.2.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

解题步骤 4.4.2.7

将 $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ 和 $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ 相加。

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + 2 \frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$

解题步骤 4.4.2.8

组合 $2$ 和 $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ 。

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{2 (8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

解题步骤 4.4.2.9

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{16 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$

微积分学 示例

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