微积分学示例

$y = \cos (x) + \tan (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\cos (x) + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 2.3.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

解题步骤 2.3.3

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.3.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

解题步骤 2.3.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.3

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.6

合并。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.7

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.4.2.7.1

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 2.4.2.7.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.7.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3

化简每一项。

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解题步骤 2.4.3.1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.2

分离分数。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.4

乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.5

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.6

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 2.4.3.7

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.4.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.6

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.7

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.8

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.11

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.12

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

解题步骤 3.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.3

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.6

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.7

合并。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.8

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.8.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.9

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.10

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.4.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 。

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.1

乘以 $1$ 。

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.2

从 $\cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.3

分离分数。

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.6

乘以 $1$ 。

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.7

分离分数。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.8

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.9

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.10

乘以 $1$ 。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.11

分离分数。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.12

将 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 转换成 $\sec^{4} (x)$ 。

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 3.4.5.13

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (x)$ 且 $g (x) = \tan^{2} (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.4

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.5.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.6

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.7

通过指数相加将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $\sec^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

移动 $\sec^{2} (x)$ 。

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.7.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.8

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (x)$ 的左侧。

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.9

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.10

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.13

通过指数相加将 $\tan^{2} (x)$ 乘以 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 4.2.13.1

移动 $\tan (x)$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.13.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $\tan^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.13.2.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.13.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.2.14

将 $2$ 移到 $\tan^{3} (x)$ 的左侧。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{4} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sec (x)$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.3.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 4.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

运用分配律。

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.2

合并项。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.2.3

将 $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 和 $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ 相加。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3

化简每一项。

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解题步骤 4.5.3.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.3

一的任意次幂都为一。

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.4

组合 $16$ 和 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.5

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.6

合并。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.7

通过指数相加将 $\cos^{4} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.5.3.7.1

将 $\cos^{4} (x)$ 乘以 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.5.3.7.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.7.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.8

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.9

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.10

组合 $8$ 和 $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ 。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.11

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.12

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.13

合并。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.14

通过指数相加将 $\cos^{3} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.5.3.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.14.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.15

化简分子。

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解题步骤 4.5.3.15.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.3.15.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4

化简每一项。

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解题步骤 4.5.4.1

从 $\cos^{5} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.2

分离分数。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.4

乘以 $1$ 。

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.5

分离分数。

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.6

将 $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ 转换成 $\sec^{4} (x)$ 。

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.7

用 $16$ 除以 $1$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.8

乘以 $1$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.9

从 $\cos^{5} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{3} (x)$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.10

分离分数。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.11

将 $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ 转换成 $\tan^{3} (x)$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.12

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.13

乘以 $1$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.14

分离分数。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.15

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

解题步骤 4.5.4.16

用 $8$ 除以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

微积分学 示例

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