微积分学示例

$y = \tan (2 x + 1)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\sec^{2} (2 x + 1) (2 + 0)$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 的左侧。

$f' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (2 x + 1)$ 。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 2.2.3

使用 $\sec (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$4 \sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.4.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$4 \sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.4.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.5

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1)) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.6

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1)) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

解题步骤 2.14

化简表达式。

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解题步骤 2.14.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

解题步骤 2.14.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 8 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (2 x + 1)$ 且 $g (x) = \tan (2 x + 1)$ 。

$8 (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)] + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$8 (\sec^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.3.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$8 (\sec^{2} (2 x + 1) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\sec^{2} (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 乘以 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 。

$8 (\sec^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 ({\sec (2 x + 1)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) (2 + 0) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.6

化简表达式。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$8 (\sec^{4} (2 x + 1) \cdot 2 + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.5.6.2

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (2 x + 1)$ 的左侧。

$8 (2 \cdot \sec^{4} (2 x + 1) + \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)])$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (2 x + 1)$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]))$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + \tan (2 x + 1) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]))$

解题步骤 3.6.3

使用 $\sec (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + \tan (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 移到 $\tan (2 x + 1)$ 的左侧。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \cdot \tan (2 x + 1) \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.8.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.8.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.9

对 $\tan (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 (\tan^{1} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)) \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.10

对 $\tan (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 (\tan^{1} (2 x + 1) \tan^{1} (2 x + 1)) \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 {\tan (2 x + 1)}^{1 + 1} \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 3.13

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) (\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 3.14

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) (\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) {\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

解题步骤 3.17

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.18

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.19

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.20

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.21

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (2 + 0))$

解题步骤 3.22

化简表达式。

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解题步骤 3.22.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 2 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2)$

解题步骤 3.22.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1) + 4 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1))$

解题步骤 3.23

化简。

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解题步骤 3.23.1

运用分配律。

$8 (2 \sec^{4} (2 x + 1)) + 8 (4 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1))$

解题步骤 3.23.2

合并项。

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解题步骤 3.23.2.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 \sec^{4} (2 x + 1) + 8 (4 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1))$

解题步骤 3.23.2.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$16 \sec^{4} (2 x + 1) + 32 \tan^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)$

解题步骤 3.23.3

重新排序项。

$f''' (x) = 32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1) + 16 \sec^{4} (2 x + 1)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1) + 16 \sec^{4} (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$ 。

$\frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 \sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)]$ 。

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (2 x + 1)$ 且 $g (x) = \tan^{2} (2 x + 1)$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x + 1)] + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (2 x + 1)$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.3.3

使用 $\tan (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.4.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.4.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.5

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\sec (2 x + 1)$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 等于 $n {u_{3}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.9.3

使用 $\sec (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.2.10.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.10.2

$\sec (u_{4})$ 对 $u_{4}$ 的导数为 $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.10.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.11

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.15

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) (2 + 0))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.16

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2)) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.17

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 的左侧。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (2 \tan (2 x + 1) (2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1))) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) (4 \tan (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.19

通过指数相加将 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 乘以 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.19.1

移动 $\sec^{2} (2 x + 1)$ 。

$32 (\sec^{2} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1) (4 \tan (2 x + 1)) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 ({\sec (2 x + 1)}^{2 + 2} (4 \tan (2 x + 1)) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.19.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$32 (\sec^{4} (2 x + 1) (4 \tan (2 x + 1)) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.20

将 $4$ 移到 $\sec^{4} (2 x + 1)$ 的左侧。

$32 (4 \cdot \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.21

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.22

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.23

将 $2$ 移到 $\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ 的左侧。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (2 \sec (2 x + 1) (2 \cdot (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1))))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.24

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (4 \sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1)))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.25

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (4 (\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1)) \tan (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.26

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (4 (\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1)) \tan (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (4 {\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} \tan (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.28

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{2} (2 x + 1) (4 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.29

通过指数相加将 $\tan^{2} (2 x + 1)$ 乘以 $\tan (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.29.1

移动 $\tan (2 x + 1)$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1) (4 \sec^{2} (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.29.2

将 $\tan (2 x + 1)$ 乘以 $\tan^{2} (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.29.2.1

对 $\tan (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{1} (2 x + 1) \tan^{2} (2 x + 1) (4 \sec^{2} (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.29.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + {\tan (2 x + 1)}^{1 + 2} (4 \sec^{2} (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.29.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + \tan^{3} (2 x + 1) (4 \sec^{2} (2 x + 1))) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.2.30

将 $4$ 移到 $\tan^{3} (2 x + 1)$ 的左侧。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 \sec^{4} (2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 \sec^{4} (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (2 x + 1)]$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (2 x + 1)]$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = \sec (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{5}$ 设为 $\sec (2 x + 1)$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ 等于 $n {u_{5}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\sec (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{5}$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

解题步骤 4.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{6}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 4.3.3.2

$\sec (u_{6})$ 对 $u_{6}$ 的导数为 $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 4.3.3.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{6}$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

解题步骤 4.3.4

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 4.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

解题步骤 4.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)))$

解题步骤 4.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)))$

解题步骤 4.3.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2))$

解题步骤 4.3.10

将 $2$ 移到 $\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ 的左侧。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (4 \sec^{3} (2 x + 1) (2 \cdot (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1))))$

解题步骤 4.3.11

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (8 \sec^{3} (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1)))$

解题步骤 4.3.12

对 $\sec (2 x + 1)$ 进行 $1$ 次方运算。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (8 (\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{3} (2 x + 1)) \tan (2 x + 1))$

解题步骤 4.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (8 {\sec (2 x + 1)}^{1 + 3} \tan (2 x + 1))$

解题步骤 4.3.14

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 16 (8 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1))$

解题步骤 4.3.15

将 $8$ 乘以 $16$ 。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$32 (4 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)) + 32 (4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

解题步骤 4.4.2

合并项。

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解题步骤 4.4.2.1

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$128 (\sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)) + 32 (4 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

解题步骤 4.4.2.2

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 128 (\tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)) + 128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$

解题步骤 4.4.2.3

将 $128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ 和 $128 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ 相加。

$f^{4} (x) = 256 \sec^{4} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) + 128 \tan^{3} (2 x + 1) \sec^{2} (2 x + 1)$

微积分学 示例

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