微积分学示例

$5 x {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x {(x + 4)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ 。

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}] + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4

求微分。

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解题步骤 1.4.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.4.6

将 ${(x + 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

运用分配律。

$5 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.5.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 (x ({(x + 4)}^{2})) + 5 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.5.3

从 $15 x {(x + 4)}^{2} + 5 {(x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(x + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

从 $15 x {(x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $5 {(x + 4)}^{2}$ 。

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.5.3.2

从 $5 {(x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 $5 {(x + 4)}^{2}$ 。

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

解题步骤 1.5.3.3

从 $5 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 5 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ 中分解出因数 $5 {(x + 4)}^{2}$ 。

$5 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

解题步骤 1.5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$5 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.5

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$5 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 1.5.6.1

运用分配律。

$5 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.6.2

运用分配律。

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.6.3

运用分配律。

$5 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$5 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.7.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$5 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.7.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$5 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.7.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$5 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.8

运用分配律。

$(5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.9

化简。

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解题步骤 1.5.9.1

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$(5 x^{2} + 40 x + 5 \cdot 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.9.2

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$

解题步骤 1.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(5 x^{2} + 40 x + 80) (4 x + 4)$ 。

$5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11

化简每一项。

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解题步骤 1.5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 \cdot 4 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.11.2.1

移动 $x$ 。

$5 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.5.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 \cdot 4 x^{1 + 2} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$5 \cdot 4 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$20 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 4 + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x (4 x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x \cdot x + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.11.6.1

移动 $x$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 (x \cdot x) + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 40 \cdot 4 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.7

将 $40$ 乘以 $4$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 40 x \cdot 4 + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.8

将 $4$ 乘以 $40$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 80 (4 x) + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.9

将 $4$ 乘以 $80$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 80 \cdot 4$

解题步骤 1.5.11.10

将 $80$ 乘以 $4$ 。

$20 x^{3} + 20 x^{2} + 160 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

解题步骤 1.5.12

将 $20 x^{2}$ 和 $160 x^{2}$ 相加。

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 160 x + 320 x + 320$

解题步骤 1.5.13

将 $160 x$ 和 $320 x$ 相加。

$f' (x) = 20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $20 x^{3} + 180 x^{2} + 480 x + 320$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$ 。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $180 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$60 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$60 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $180$ 。

$60 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} [480 x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [480 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $480$ 对于 $x$ 是常数，所以 $480 x$ 对 $x$ 的导数是 $480 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$60 x^{2} + 360 x + 480 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$60 x^{2} + 360 x + 480 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.4.3

将 $480$ 乘以 $1$ 。

$60 x^{2} + 360 x + 480 + \frac{d}{d x} [320]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $320$ 对于 $x$ 是常数，所以 $320$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$60 x^{2} + 360 x + 480 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $60 x^{2} + 360 x + 480$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 480$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $60 x^{2} + 360 x + 480$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$ 。

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $60 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$120 x + \frac{d}{d x} [360 x] + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [360 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $360$ 对于 $x$ 是常数，所以 $360 x$ 对 $x$ 的导数是 $360 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$120 x + 360 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$120 x + 360 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.3.3

将 $360$ 乘以 $1$ 。

$120 x + 360 + \frac{d}{d x} [480]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $480$ 对于 $x$ 是常数，所以 $480$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$120 x + 360 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $120 x + 360$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 120 x + 360$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $120 x + 360$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$ 。

$\frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [360]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [120 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $120$ 对于 $x$ 是常数，所以 $120 x$ 对 $x$ 的导数是 $120 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [360]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [360]$

解题步骤 4.2.3

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$120 + \frac{d}{d x} [360]$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $360$ 对于 $x$ 是常数，所以 $360$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$120 + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $120$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 120$

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