微积分学示例

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $\sin^{2} (t) \cos (t)$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 转换成 $\csc^{2} (t)$ 。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 4

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- \cot (t)$ 在 $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

解题步骤 5.2

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ 为 $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ 。

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

解题步骤 6

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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