微积分学示例

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (x)$ 转换为 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

解题步骤 2

运用分配律。

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 4

使用勾股定理将 $3$ 转化为 $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

从 $3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 中减去 $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

解题步骤 5.2

将 $3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 和 $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 相加。

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 6

将自变量乘以 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

合并。

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 7.2

将 ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

将 $\sec (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.2

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.3

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.4

约去 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 中分解出因数 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.4.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 8.5

将 $\sec (\frac{x}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

解题步骤 8.6

对 $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 8.7

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 8.8

组合 $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

解题步骤 9

将 $\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 转换成 $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

解题步骤 10

使 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 10.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 10.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

解题步骤 11.3

组合 $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 11.4

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (u_{1})$ 的左侧。

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 12

由于 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 13

使 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $\tan (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

解题步骤 13.1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$\sec^{2} (u_{1})$

解题步骤 13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 14

将 $5$ 重写为 ${\sqrt{5}}^{2}$ 。

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 15

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 和 $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ 。

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

解题步骤 16.2

将 $2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ 重写为 $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ 。

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 16.3

组合 $2$ 和 $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $\tan (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 17.2

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

解题步骤 18.2

合并和化简分母。

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解题步骤 18.2.1

将 $\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

解题步骤 18.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

解题步骤 18.2.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

解题步骤 18.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

解题步骤 18.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

解题步骤 18.2.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 18.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

解题步骤 18.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

解题步骤 18.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

解题步骤 18.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

解题步骤 18.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

解题步骤 18.2.6.5

计算指数。

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

解题步骤 18.3

重新排序项。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$

微积分学 示例

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