微积分学示例

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (\frac{1}{x})$ 。

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ 。然后使 $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ ，以便 $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (\frac{1}{x})$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.4.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x (- x^{- 2})$

解题步骤 2.1.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (x^{1} x^{- 2})$

解题步骤 2.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- x^{1 - 2}$

解题步骤 2.1.8

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- x^{- 1}$

解题步骤 2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int - u_{2} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int u_{2} d u_{2}$

解题步骤 4

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 5

将 $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 。

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

解题步骤 6

使用 $\ln (\frac{1}{x})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$

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