微积分学示例

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 1

分解分数 $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ 成为两个分数。

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 2.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 2.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 2.4

约去 $\tan^{2} (x)$ 和 $\tan (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $\tan^{2} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

乘以 $1$ 。

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

解题步骤 2.4.2.4

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

解题步骤 4

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

解题步骤 6.2.2

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$

微积分学 示例

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