微积分学示例

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

解题步骤 1.2

分离分数。

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 1.4

将 $\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ 乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 1.5

组合 $\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ 和 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

解题步骤 2

使 $u = 8 + \tan (t)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 8 + \tan (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $8 + \tan (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $8 + \tan (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

解题步骤 2.1.3

$\tan (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ 。

$0 + \sec^{2} (t)$

解题步骤 2.1.4

将 $0$ 和 $\sec^{2} (t)$ 相加。

$\sec^{2} (t)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{9}}$ 。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

解题步骤 3.2

通过将 $u^{\frac{1}{9}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.3

将 ${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{9}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ 。

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

解题步骤 5

使用 $8 + \tan (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$

微积分学 示例

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