微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} x^{2} \cos (3 x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = \cos (3 x)$ 。

$x^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$x^{2} \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{1}{3} \sin (3 x) (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3} \cdot 2$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x)$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (3 x) (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (3 x)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{1}{3} \cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (x (- \frac{\cos (3 x)}{3})]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (3 x)}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{1}{3} \cos (3 x) d x)$

解题步骤 6.3

组合 $\cos (3 x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \int_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - - \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + 1 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos (3 x)}{3} d x)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos (3 x) d x)$

解题步骤 10

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 10.2

将下限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 10.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 10.4

将上限代入替换 $u = 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{6}$

解题步骤 10.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (2)}$

解题步骤 10.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 10.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 10.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{3} d u)$

解题步骤 11

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{3} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

解题步骤 13.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{1}{9} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

解题步骤 15

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ 。

$\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

解题步骤 16

代入并化简。

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解题步骤 16.1

计算 $\frac{x^{2} \sin (3 x)}{3}$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{x \cos (3 x)}{3}]_{0}^{\frac{π}{6}} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

解题步骤 16.2

计算 $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ 在 $\frac{π}{6}$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (3 \frac{π}{6})}{3}) - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}}{9})$

解题步骤 16.3

计算 $\sin (u)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

解题步骤 16.4

化简。

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解题步骤 16.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.2

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.2.2.2

约去公因数。

解题步骤 16.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0^{2} \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.5

将 $0$ 乘以 $\sin (0)$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.6

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.6.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.6.2.2

约去公因数。

解题步骤 16.4.6.2.3

重写表达式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.6.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.8

将 $\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} ((- \frac{\frac{π}{6} \cos (3 \frac{π}{6})}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.9

组合 $3$ 和 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.10

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.10.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 (π)}{6})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.10.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π}{6} \cos (\frac{π}{2})}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.11

组合 $\frac{π}{6}$ 和 $\cos (\frac{π}{2})$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.12

将 $\frac{\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}}{3}$ 重写为乘积形式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- (\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.13

将 $\frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{6 \cdot 3} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.14

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (3 \cdot 0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.15

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0 \cos (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.16

将 $0$ 乘以 $\cos (0)$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.17

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.17.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 (0)}{3} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.17.2

约去公因数。

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解题步骤 16.4.17.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.17.2.2

约去公因数。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.17.2.3

重写表达式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{0}{1} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.17.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + 0 + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.18

将 $- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)}{9})$

解题步骤 16.4.19

要将 $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 16.4.20

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 16.4.20.1

将 $\frac{\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)}{9}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{9 \cdot 2})$

解题步骤 16.4.20.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{18} + \frac{(\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18})$

解题步骤 16.4.21

在公分母上合并分子。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)) \cdot 2}{18}$

解题步骤 16.4.22

将 $2$ 移到 $\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)$ 的左侧。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 \cdot (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$

解题步骤 16.4.23

将 $\frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{18}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{18 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.24

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{(- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))) \cdot 2}{54}$

解题步骤 16.4.25

将 $2$ 移到 $- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$ 的左侧。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 \cdot (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{54}$

解题步骤 16.4.26

约去公因数。

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解题步骤 16.4.26.1

从 $54$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

解题步骤 16.4.26.2

约去公因数。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{2 (- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))}{2 \cdot 27}$

解题步骤 16.4.26.3

重写表达式。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cos (\frac{π}{2}) + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

解题步骤 17.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))}{27}$

解题步骤 17.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - \sin (0))}{27}$

解题步骤 17.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2} \cdot 1}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

解题步骤 17.5

将 ${(\frac{π}{6})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{- π \cdot 0 + 2 (1 - 0)}{27}$

解题步骤 17.6

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 π + 2 (1 - 0)}{27}$

解题步骤 17.7

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 - 0)}{27}$

解题步骤 17.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 (1 + 0)}{27}$

解题步骤 17.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2 \cdot 1}{27}$

解题步骤 17.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{0 + 2}{27}$

解题步骤 17.11

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{{(\frac{π}{6})}^{2}}{3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简分子。

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解题步骤 18.1.1

对 $\frac{π}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{π^{2}}{6^{2}}}{3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{π^{2}}{36}}{3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{π^{2}}{36} \cdot \frac{1}{3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18.3

合并。

$\frac{π^{2} \cdot 1}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18.4

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{36 \cdot 3} - \frac{2}{27}$

解题步骤 18.5

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

解题步骤 19

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π^{2}}{108} - \frac{2}{27}$

小数形式：

$0.01731115 \dots$

微积分学 示例

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