微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.3.1

对 $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $\sqrt{3} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 3 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $3$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.7

从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 移到 $\cos (t) \sqrt{3}$ 的左侧。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

解题步骤 2.2.3

约去 $\sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.4

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{2} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} t + C$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

使用 $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$

微积分学 示例

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