微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.1.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3.6.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

组合 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 和 $\sin (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 {(\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.6.1

对 $\frac{\sqrt{6} \sin (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(\sqrt{6} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.6.2

对 $\sqrt{6} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{\sqrt{6}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.7.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.7.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2 \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.9

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.9.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 (- 1) \frac{6 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.9.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.9.3

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \cdot - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2 \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.9.4

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{6 \sin^{2} (t)}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.10

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.10.1

从 $6 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{2 (3 \sin^{2} (t))}{2 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.10.2.4

用 $3 \sin^{2} (t)$ 除以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.11

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 3 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.6

将 $3$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.7

从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 移到 $\cos (t) \sqrt{3}$ 的左侧。

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

解题步骤 2.2.3

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{6} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

解题步骤 2.2.3.2

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} d t$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{3}} t + C$ 重写为 $\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{6}{3}}}{2} t + C$

解题步骤 4.2

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} t + C$

解题步骤 4.3

使用 $\arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{3}}) + C$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} x) + C$

微积分学 示例

微积分学示例