微积分学示例

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

化简分子。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2

从 $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2.2

乘以 $1$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.1.2.3

从 $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

解题步骤 1.2

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $t^{\frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3.4

在公分母上合并分子。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

解题步骤 1.3.5.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

解题步骤 2

通过将 $t^{\frac{5}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

解题步骤 3

将 ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

解题步骤 3.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

解题步骤 3.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.4

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.5.2

重写表达式。

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.6

化简。

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 4.7

将 $t^{- \frac{5}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 6

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{- \frac{5}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

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