微积分学示例

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

解题步骤 2

使 $x = 2 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简 $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.6

对 $4 \tan^{2} (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.7

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.8

将 ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.8.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.9

将 $64 \tan^{6} (t)$ 重写为 ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.1.10

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2 \tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $8 \tan^{3} (t)$ 中分解出因数 $2 \tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.2

从 $2 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $2 \tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 3.2.1.4

重写表达式。

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ 和 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $\sec (x)$ 重写为 $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

解题步骤 5.2

使用倒数恒等式。

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 5.3.2

合并。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 5.3.3

将 $\csc (t)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

对 $\frac{1}{\cot (t)}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 5.3.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 5.3.5

组合 $\cot (t)$ 和 $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 5.3.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

解题步骤 5.3.6.2

从 ${\cot (t)}^{2}$ 中分解出因数 $\cot (t)$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 5.3.6.3

约去公因数。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

解题步骤 5.3.6.4

重写表达式。

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

解题步骤 5.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

解题步骤 6

因为 $- \csc (t)$ 的导数为 $\csc (t) \cot (t)$ ，所以 $\csc (t) \cot (t)$ 的积分为 $- \csc (t)$ 。

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\csc (t)$ 。

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

解题步骤 8

使用 $arcsec (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ 为 $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ 。

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.3

合并。

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5

化简分母。

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解题步骤 9.1.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3

化简。

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解题步骤 9.1.5.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.4

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.6

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 9.1.5.6.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.7

从根式下提出各项。

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

解题步骤 9.1.5.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.6

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.1.7.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 。

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解题步骤 9.1.7.1.1

约去公因数。

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.7.1.2

重写表达式。

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.7.2

用 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.8

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9

合并和化简分母。

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解题步骤 9.1.9.1

将 $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ 。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.2

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.3

对 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6

将 ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 9.1.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 重写成 ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.9.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

解题步骤 9.1.9.6.5

化简。

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

解题步骤 9.2

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

解题步骤 9.3

将 $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

解题步骤 9.4

将 $4$ 移到 $(x + 2) (x - 2)$ 的左侧。

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$

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