微积分学示例

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{2} - 1}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4} d x$

解题步骤 3

展开 $(x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (x^{5} + 2 x^{2}) x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int x^{5} x^{- 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{5 - 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.4

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.5

化简。

$\int x + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x + 2 x^{2 - 4} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 3.7

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$\int x + 2 x^{- 2} - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 4} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 4} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} - - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + 1 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 10.3.2

将 $\frac{1}{3 x^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 10.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

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