微积分学示例

$\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 1

用 $x^{4}$ 除以 $x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + 0 + 4 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} + 0 - 16$ 中的所有符号

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

解题步骤 1.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 5

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2}$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arctan (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 16 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

组合 $16$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{16}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{8}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

解题步骤 8.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

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