微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 4}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $2 \tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $2 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $2 \tan (t)$ 。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{{(2 \sec (t))}^{3}}{2 \tan (t)} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int {(2 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $2 \sec (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {(2 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $2 (\sec (t))$ 运用乘积法则。

$\int 2^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int 8 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 2.2.2.4

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 8 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

解题步骤 2.2.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 8 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

解题步骤 2.2.2.6

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int 8 \sec^{4} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int \sec^{4} (t) d t$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$8 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

解题步骤 4.2

将 ${\sec (t)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ 。

$8 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (t)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (t)$ 的形式。

$8 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 6

使 $u = \tan (t)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (t) d t$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \tan (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\tan (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

解题步骤 6.1.2

$\tan (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ 。

$\sec^{2} (t)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$8 \int 1 + u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$8 (\int d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$8 (u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$8 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$8 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$8 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\tan (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

解题步骤 11.2

使用 $arcsec (\frac{x}{2})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$8 (\tan (arcsec (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{x}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ 为 $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ 。

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$8 (\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$8 (\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.5

在公分母上合并分子。

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.8

在公分母上合并分子。

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 (\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.10

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$8 (\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.12

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 12.1.12.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.12.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$8 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$8 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.13

从根式下提出各项。

$8 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.1.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))$ 。

$8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3}) + C$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4) \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.2

约去公因数。

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.3

重写表达式。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{2}))}{3} + C$

解题步骤 12.5

化简分子。

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解题步骤 12.5.1

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{x}{2}$ 和 $b = 1$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.5

在公分母上合并分子。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.8

在公分母上合并分子。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.10

将 $\frac{x + 2}{2}$ 乘以 $\frac{x - 2}{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.11

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.12

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 12.5.12.1

从 $(x + 2) (x - 2)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.12.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.13

从根式下提出各项。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{{(\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2})}^{3}}{3} + C$

解题步骤 12.5.15

对 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16

化简分子。

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解题步骤 12.5.16.1

将 ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.2

对 $(x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.3

将 ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}$ 重写为 ${((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ 。

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解题步骤 12.5.16.3.1

因式分解出 ${(x + 2)}^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) {(x - 2)}^{3}}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.3.2

因式分解出 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} (x + 2) ({(x - 2)}^{2} (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.3.3

移动 $x + 2$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.3.4

将 ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ 重写为 ${((x + 2) (x - 2))}^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} (x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.3.5

添加圆括号。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{{((x + 2) (x - 2))}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.4

从根式下提出各项。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x + 2) (x - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 12.5.16.5.1

运用分配律。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x (x - 2) + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.5.2

运用分配律。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.5.3

运用分配律。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.6

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 12.5.16.6.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.6.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.6.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x + 2 \cdot - 2) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.8

乘以 $(x \cdot x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

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解题步骤 12.5.16.8.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.8.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1} x^{1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{1 + 1} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{(x^{2} - 4) \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.9

运用分配律。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.10

从 $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

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解题步骤 12.5.16.10.1

从 $x^{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} - 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.10.2

从 $- 4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.10.3

从 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} x^{2} + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot - 4$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 4)}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 2^{2})}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.16.12

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{2^{3}}}{3} + C$

解题步骤 12.5.17

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}}{3} + C$

解题步骤 12.6

化简每一项。

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解题步骤 12.6.1

将分子乘以分母的倒数。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 (\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + C$

解题步骤 12.6.2

乘以 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 12.6.2.1

将 $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.6.2.2

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{24} + C$

解题步骤 12.6.3

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 12.6.3.1

从 $24$ 中分解出因数 $8$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 (3)} + C$

解题步骤 12.6.3.2

约去公因数。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + 8 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{8 \cdot 3} + C$

解题步骤 12.6.3.3

重写表达式。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.7

要将 $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.8

组合 $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.9

在公分母上合并分子。

$\frac{4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10

化简分子。

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解题步骤 12.10.1

从 $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

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解题步骤 12.10.1.1

从 $4 \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \cdot 3$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10.1.2

从 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))}{3} + C$

解题步骤 12.10.1.3

从 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2))$ 中分解出因数 $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (4 \cdot 3 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

解题步骤 12.10.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + (x + 2) (x - 2))}{3} + C$

解题步骤 12.10.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 12.10.3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x (x - 2) + 2 (x - 2))}{3} + C$

解题步骤 12.10.3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2))}{3} + C$

解题步骤 12.10.3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10.4

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 12.10.4.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10.4.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10.4.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x + 2 \cdot - 2)}{3} + C$

解题步骤 12.10.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (12 + x \cdot x - 4)}{3} + C$

解题步骤 12.10.6

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x \cdot x + 8)}{3} + C$

解题步骤 12.10.7

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} + 8)}{3} + C$

微积分学 示例

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