微积分学示例

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 3 \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $3 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3 \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\int \frac{{(3 \sin (t))}^{3}}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$\int {(3 \sin (t))}^{3} d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $3 \sin (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} d t$

解题步骤 2.2.2.2

对 $3 (\sin (t))$ 运用乘积法则。

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 2.2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int 27 \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 3

由于 $27$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $27$ 移到积分外。

$27 \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 4

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$27 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$27 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

解题步骤 6

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 6.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$27 \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$27 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$27 (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$27 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$27 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$27 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$27 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

解题步骤 11.2

使用 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$27 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}$ 。

$27 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$27 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{3}$ 。

$27 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$27 (- \sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.5

在公分母上合并分子。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.7

在公分母上合并分子。

$27 (- \sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.8

将 $\frac{3 + x}{3}$ 乘以 $\frac{3 - x}{3}$ 。

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$27 (- \sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.10

将 $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 。

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解题步骤 12.1.10.1

从 $(3 + x) (3 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.10.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$27 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$27 (- \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.11

从根式下提出各项。

$27 (- (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.1.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))$ 。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3}) + C$

解题步骤 12.3

运用分配律。

$27 (- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.4.1

将 $- \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$27 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.2

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (9) \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.3

约去公因数。

$3 \cdot 9 \frac{- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.4.4

重写表达式。

$9 (- \sqrt{(3 + x) (3 - x)}) + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.5

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 27 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 (9) \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.6.2

约去公因数。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 3 \cdot 9 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3}))}{3} + C$

解题步骤 12.6.3

重写表达式。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$- 9 \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + 9 \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

微积分学 示例

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