微积分学示例

$\int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} 5 \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} \csc (x) \cot (x) d x$

解题步骤 2

因为 $- \csc (x)$ 的导数为 $\csc (x) \cot (x)$ ，所以 $\csc (x) \cot (x)$ 的积分为 $- \csc (x)$ 。

$5 (- \csc (x)]_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}})$

解题步骤 3

计算 $- \csc (x)$ 在 $\frac{11 π}{6}$ 处和在 $\frac{7 π}{6}$ 处的值。

$5 (- \csc (\frac{11 π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余割在第四象限为负。

$5 (- - \csc (\frac{π}{6}) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 4.1.2

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$5 (- (- 1 \cdot 2) + \csc (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 4.1.3

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 (- - 2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 4.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$5 (2 + \csc (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 4.1.4

Apply the reference angle by finding the angle with equivalent trig values in the first quadrant. Make the expression negative because cosecant is negative in the third quadrant.

$5 (2 - \csc (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.1.5

$\csc (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $2$ 。

$5 (2 - 1 \cdot 2)$

解题步骤 4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$5 (2 - 2)$

解题步骤 4.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$5 \cdot 0$

解题步骤 4.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$0$

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