微积分学示例

$\int \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{3 x - 3} d x$

解题步骤 1

用 $2 x^{2} - 3 x + 1$ 除以 $3 x - 3$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$3$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$\frac{2 x}{3}$
	$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{2 x}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					-	$x$	+	$1$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 1$ 中的所有符号

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{2 x}{3}$	-	$\frac{1}{3}$
$3 x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x$	+	$1$
					+	$x$	-	$1$
								$0$

解题步骤 1.11

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$\int \frac{2 x}{3} - \frac{1}{3} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2 x}{3} d x + \int - \frac{1}{3} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} \int x d x + \int - \frac{1}{3} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{3} d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{6} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

解题步骤 6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + C$

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