微积分学示例

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{x \cdot 3}{2}$ 和 $e^{- 6 x}$ 。

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

解题步骤 1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 6 x}$ 。

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

组合 $e^{- 6 x}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

解题步骤 4.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

解题步骤 4.3

组合 $e^{- 6 x}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

解题步骤 6.2

将 $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

解题步骤 8

使 $u = - 6 x$ 。然后使 $d u = - 6 d x$ ，以便 $- \frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = - 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

解题步骤 9

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

解题步骤 9.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 12

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

解题步骤 12.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

解题步骤 13

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

解题步骤 14

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解题步骤 14.1

将 $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ 重写为 $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

解题步骤 14.2

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解题步骤 14.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

解题步骤 14.2.2

组合 $e^{- 6 x}$ 和 $\frac{x}{6}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

解题步骤 14.2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{36}$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

解题步骤 15

使用 $- 6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.2.1

将 $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.2.3

约去公因数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ 。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

解题步骤 16.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.1

将 $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

解题步骤 16.5.2

从 $36$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

解题步骤 16.5.3

约去公因数。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

解题步骤 16.5.4

重写表达式。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

解题步骤 16.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ 。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

解题步骤 16.7

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

解题步骤 16.8

化简每一项。

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解题步骤 16.8.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

解题步骤 16.8.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

解题步骤 16.9

将 $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$

微积分学 示例

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