微积分学示例

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

解题步骤 1

使 $u = x (x - 1)$ 。然后使 $d u = (2 x - 1) d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x (x - 1)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x (x - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.3.6.1

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$x + x - 1$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x - 1$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 3

使用 $x (x - 1)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| x (x - 1) |) + C$

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