微积分学示例

$\int \frac{2 a}{\sqrt{x}} - \frac{b}{x^{2}} + 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{2 a}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $2 a$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2 a$ 移到积分外。

$2 a \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 a \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 a \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 a \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$2 a \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$2 a \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{b}{x^{2}} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $b$ 移到积分外。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (b \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 7.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b \int x^{- 2} d x + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + \int 3 c \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 9

由于 $3 c$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3 c$ 移到积分外。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

解题步骤 10

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c \int x^{\frac{2}{3}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$2 a (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - b (- x^{- 1} + C) + 3 c (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + 3 c (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}) + C$

解题步骤 12.2

化简。

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解题步骤 12.2.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + 3 c \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 12.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ 。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + c \frac{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 12.2.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + c \frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

解题步骤 12.2.4

组合 $c$ 和 $\frac{9 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ 。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{c (9 x^{\frac{5}{3}})}{5} + C$

解题步骤 12.2.5

将 $9$ 移到 $c$ 的左侧。

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{9 c x^{\frac{5}{3}}}{5} + C$

$4 a x^{\frac{1}{2}} + \frac{b}{x} + \frac{9}{5} c x^{\frac{5}{3}} + C$

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